等比数列的前n项和的学习与应用探究

侯嘉南

摘 要：学习等比数列的前n项和，公式固然重要，更重要的是要同学们掌握用错位相减法和定义法推导公式的方法，并在推导中积极的思考，通過等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养自己观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力，从而形成学生自己的独特的数学思想和解题方法，逐步认识到数学的科学价值和应用价值。

关键词：等比数列的前n项和；错位相减法；分类讨论；类比与转化

国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说：国王要奖赏国际象棋的发明者西萨，问他有什么要求。西萨说：“请在棋盘的第1个格子里放上一颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍，直到第64个格子。”国王不假思索地说：“这太简单了！”马上就吩咐手下马上去办。过了好久，手下人惊慌失措地跑过来，报告国王：“不好了！不好了！”国王听完报告之后也傻眼了。你猜这是怎么回事？原来按照国际象棋发明者西萨的要求，经过计算，即便把印度近几十年生产的所有麦子加起来也不够给这位西萨的。

从给出一颗麦粒开始，到第64个格子就给出了自己的江山吗？国王糊涂了，傻了。

这就是等比数列的前n项和的运用，是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。那么到底要给西萨多少麦子呢？等比数列的前n项和的计算公式如何推导呢？

写出麦粒总数：1+2+22+23+……263

在学习等比数列的前n项和的计算公式之前，计算这个公式可以用一个笨办法，那就是用计算器依次算出各项的值，然后再求和。但是这个办法仅适用于有限的项数，太多了就计算不出来了。这就需要学习公式，需要清楚这个数列的特点，明白这是一个什么样的数学问题。

很明显，稍作仔细观察我们就能发现，在1+2+22+23+……263这个数列里面，每一项都有明显的特征，那就是后一项都是前一项的2倍。

探究1：设1+2+22+23+……263，记为（1）式，

探究2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2，则有2S64=2+22+23+……263+264，记为（2）式。

比较（1）（2）两式，你发现了什么？

数学的思维就是这样神奇，貌似复杂难解甚至无解的题目，一旦转换一下思维，整个情况就会完全改观，变得简单明了易解。推导等比数列前n项和的公式，比较（1）（2）两式，关键是变“加”为“减”，而这简单的一个变“加”为“减”，在教授知识的教师看来这是“天经地义”的，但在作为被动接受知识的学生看来却是“不可思议”的，这就是学习等比数列前n项和公式推导时需要着力的地方，也正是培养辩证思维能力的良好契机。经过比较、研究，学生能发现：（1）（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：S64=264-1，这就是错位相减法。

纵观全过程，错位相减关键是（1）式两边都同乘以了2。那么反思一下：为什么（1）式两边要同乘以2呢？

我们可以将结论一般化，设等比数列{an}，首项为a1，公比为q，如何求前n项和Sn？学生可以尝试自主探究，从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，自己探究公式，从而体验到学习的快乐和成就感。

探究：由（1-q）Sn=a1-a1qn得Sn=对不对？

这里的q能不能等于1？

等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？

此时Sn=？

得出结论：因为等比数列的前n项和是在学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式，等差数列的前n项和公式的基础上进行的，所以结论比较容易推导。结合等比数列的通项公式an=a1qn-1，如何把Sn用a1、an、q表示出来？最后得出公式：

Sn=na1， q=1=， q≠1

学会公式推导之后，要再加强练习。通过多层次的练习，加深学生对知识的理解，同时使学生养成多元反馈看自己的习惯。

例1：求等比数列，，，，…前10项和；

等比数列，，，，…前多少项的和是；

已知等比数列，，，，…求第5项到第13项的和；

已知等比数列，，，，…求前2n项中所有奇数项的和。

然后，再尝试自己编一道等比数列求和的问题，这样做的好处在于使同学们不会拘泥于完成几道题目就可以了，而是能够把知识学活，举一反三，有利于培养同学们的创造力及自学能力。

《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”高中生正好处于创新能力的培养期，应尝试多种活动，在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。学习等比数列的前n项和，公式固然重要，更重要的是要同学们掌握用错位相减法和定义法推导公式的方法，并在推导中积极的思考，通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养自己观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力，从而形成学生自己的独特的数学思想和解题方法，逐步认识到数学的科学价值和应用价值。