多元和不等问题融合 求导与构建函数并举①

石向阳

(湖南省长沙市雅礼教育集团南雅中学 410129)

1 巧妙消元构建函数

因为多元，所以通过消元来解决是很自然的想法．解题中，通过消元，分多为少、化繁为简、变难为易，常可降低思维难度．

例1设函数f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx．

(1)讨论函数f(x)的单调区间；

(2)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点且x1

当a≥0时，对任意x>0，f′(x)>0，

所以此时函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)．

(2)由(1) 可得，当a≥0时，函数y=f(x)的图象与x轴至多有一个交点，不合题意． 故a<0.

>0.

所以等价于只要证明

即证明

下面证明

2 整体换元构建函数

在处理多变元函数问题中，用新元去代替该函数中的部分(或全部)变元．从而使变量化多元为少元，即达到减元的目的．问题中的参数减少了，复杂问题就简单化、明朗化了，这就是换元思想独到的作用．

例1第(2)问另证由(1)知要证

lnx1= 0，

即证明 (x1+x2)[4(x2-x1)+(lnx2-lnx1)]

⟺(x1+x2)(lnx2-lnx1)>2x2-2x1

显然当t>1时，g′(t)>0，

所以g(t)在[1，+∞)上单调递增.

故g(t)>g(1)=0，命题得证．

3 设定主元构建函数

在许多数学问题中，都含有常量、参量、变量等多个量．通常情况下，有一些元素处于突出和主导地位，可视之为主元；为了解决问题，也可人为突出某个量的地位作用，先将其当作主元；其它变元看作常数，来构建函数，再用函数求导知识，结合函数单调性求解．

例2已知函数f(x)=ln(x+1)-x，g(x)=xlnx．设0

分析所证不等式中有两个变量a,b，从中选一个为自变量，另一个看成常数，构造相应函数，通过求解函数最值证明原不等式．

解对g(x)=xlnx求导，g′(x)=lnx+1.

当0

因此F(x)在(0,a)上为减函数.

当x>a时，F′(x)>0，

因此F(x)在(a,+∞)上为增函数.

从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a).

因为F(a)=0，b>a，所以F(b)>0，

设G(x)=F(x)-(x-a)ln2，

当x>0时，G′(x)<0，

因此G(x)在(0，+∞)上为减函数，

因为G(a)=0，b>a，所以G(b)<0.

点评3本题以b为主元构造函数，当然也可以以a……