一道高考不等式题引发的研究性学习①

2018-12-21 12:47:26赵思林

数学通报 2018年11期

赵思林王佩

(内江师范学院数学与信息科学学院 641112)

2017年高考数学全国卷Ⅱ理科第23题是一道具有数学探究价值的不等式题，对该题多角度的思路分析与探究能够激活发散思维，对该题的推广可以培养问题意识并激发创新思维，对该题从解题思路分析与探究、问题的拓展与推广等角度思考可引发如下的研究性学习．

1 试题介绍与评注

2017年高考数学全国卷Ⅱ理科第23题是：

已知a>0,b>0，a3+b3=2，证明：

(1)(a+b)(a5+b5)≥4；

(2)a+b≤2．

评注：此题形式对称，结构简单，给人以优美的感受．该题背景深刻，思路宽、解法多，能够激发思考和探究的欲望．因此，该题是一道研究性学习的好问题．第(2)问是一个经典的题目．

分析与探究1证明不等式最常用方法是求差法．考虑到不等式的左边是6次式，右边是0次式(即常数项)，若用求差法，则需将右边的0次式变成6次式．因此，有

(a+b)(a5+b5)-(a3+b3)2

=a5b+ab5-2a3b3

=ab(a2-b2)2

≥0，

等号成立当且仅当a=b．(注：以下不再说明等号成立的条件)

故(a+b)(a5+b5)≥4．

(a+b)(a5+b5)≥4

⟺(a+b)(a5+b5)≥(a3+b3)2

(说明：左右两边次数相同，同除以b6并通过整体代换将问题化为一元问题)

⟺(t+1)(t5+1)≥(t3+1)2

(说明：这就化为一元问题了)

⟺t5+t≥2t3

⟺t4+1≥2t2.

最后这个不等式是显然成立的，故原不等式获证．

评注：数学问题解决的本质是化归与转化，本方法通过“非齐次化齐次”、“多元化一元”，使问题简洁获解，其思维策略及方法具有普适性，值得体会与借鉴．

分析与探究3考虑到不等式的左边比较复杂，可考虑从左边下手．

(a+b)(a5+b5)=a6+b6+a5b+ab5

=(a3+b3)2-2a3b3+a5b+ab5

=4，

故(a+b)(a5+b5)≥4．

分析与探究4考虑用柯西不等式

因为a>0，b>0，则由柯西不等式，得