特殊可逆矩阵的一个性质

饶维亚，关丽红

(长春大学 理学院，长春 130022)

n级矩阵A可逆的充分必要条件是A可写为若干n级初等矩阵的乘积[1]，即：

1 初等矩阵及其行列式的值

采用文献[1]中的记号，其中E表示单位矩阵。

第一类初等矩阵P(i,j)：表示交换E的第i行与第j行所得到的矩阵；

第二类初等矩阵P(i(c))：表示用非零常数c乘以E的第i行所得到的矩阵；

第三类初等矩阵P(i,j(k))：表示E的第j行的k倍加至第i行所得到的矩阵。

显然：P(i,j)-1=P(i,j)，P(i(c))-1=P(i(c-1))，P(i,j(k))-1=P(i,j(-k))，

且有: detP(i,j)=-1，detP(i(c))=c，detP(i,j(k))=1.

从而有:

引理1 三类初等矩阵中，仅第三类初等矩阵，它的行列式的值等于1。

2 3级矩阵情形

引理2 任意一个3级第一类初等矩阵，都等于一个非零常数与若干第三类初等矩阵的乘积。

证明：不失一般性，我们讨论3级初等矩阵P(1,2)，对它进行一系列的初等变换

记ai=-1，则det(aiQ)=1，对aiQ仿上变换，有:

可知：

E=aiP(2,3(1))P(3,2(-1))P(2,3(1))P(3,2(-1))P(2,3(1))P(3,2(-1))，

P(1,2(-1))P(2,1(1))P(1,2(-1))P(1,2)。

从而：

P(1,2)=a-1iP(1,2(1))P(2,1(-1))P(1,2(1))P(3,2(1))P(2,3(-1))，

P(3,2(1))P(2,3(-1))P(3,2(1))P(2,3(-1))。

即第一类初等矩阵P(1,2)可以写成非零常数ai与若干第三类初等矩阵的乘积。

引理 3 任意一个3级第二类初等矩阵，都等于一个非零常数与若干第三类初等矩阵的乘积。

证明：首先讨论2级矩阵的情形。

设a是非零常数，不失一般性，讨论2级矩阵P(1(a))，其中a≠1。

对于复数a，总可以写成a=c2的形式，记ai=c-1，则：

对它进行一系列初等变换：

可知：

E=aiP(1,2(c-1-c-2))P(2,1(-c))P(1,2(c-1-1))P(2,1(1))P(1(a))。

于是，2级第二类初等矩阵P(1(a))可以写成非零常数ai与若干第三类初等矩阵的乘积。

再讨论3级的情形。仍不失一般性，对3级矩阵P(1(a))进行讨论，其中a≠1。

设a=c3，记ai=c-1，则

进行初等变换有：

对最后一个矩阵的第二行和第三行，再按照2级的变换方式，进行一系列初等变换，可得E=aiP(2,3(c-1-c-2))P(3,2(-c))P(2,3(c-1-1))P(3,2(1))P(1,2(c-2-c-4))，

P(2,1(-c2))P(1,2(c-2-1))P(2,1(1))P(1(a))。

于是，3级第二类初等矩阵P(1(a))可以写成非零常数ai与若干第三类初等矩阵的乘积。

定理1 一个行列式的值为1的3级矩阵，可以写成若干个行列式的值为1的初等矩阵的乘积。

证明：由引理2、引理3知，任一第一、二类初等矩阵都可写成非零常数与若干第三类初等矩阵的乘积。又已知3级矩阵的行列式的值为1，由引理1知：所有第三类初等矩阵的行列式的值都等于1，故所有常数的乘积必为1。从而3级行列式的值为1的矩阵可以写成若干个行列式的值为1的初等矩阵的乘积。

3 n级矩阵情形

取a=cn，记ai=c，则：

类似于3级的变换方式，先进行以下第三类初等变换：

再对上述矩阵的第二行和第三行进行初等变换有：

接下来，再对上述矩阵的第三行和第四行进行类似的变换。如此变换下去，总共变换n-1次后，可得单位矩阵E。从而：

于是，n级第二类初等矩阵P(1(a))可以写成非零常数ai与若干第三类初等矩阵的乘积。

同理可证：

引理4 任一n级第二类初等矩阵，都可写成非零常数与若干第三类初等矩阵的乘积。

3.2 n级第一类初等矩阵

仅作第三类初等变换有：

最后矩阵是3.1中a=-1情形，其可表为非零常数与若干第三类初等矩阵的乘积。于是n级第一类初等矩阵P(1,2)可以表示为非零常数与若干第三类初等矩阵的乘积。

对于其他形式的n级第一类初等矩阵，有如上相同结论。从而有：

引理5n级第一类初等矩阵都可写为非零常数与若干第三类初等矩阵的乘积。

3.3 主要结果

定理2一个行列式的值为1的矩阵可以写成若干个行列式的值为1的初等矩阵的乘积。

证明 由引理4、引理5及定理1即得。