基于核心素养下的数学概念教学
——以《数列的概念与简单表示法》为例

浙江省义乌市义亭中学 方书英

近几年来，对于人的核心素养的培养日渐成为新一轮课程改革的深化方向。高中数学核心素养提出的具体要求有六条：数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算和数据分析。在平时的教学中，要注意对这六种能力的培养。

本文以必修五中数列的起始课《数列的概念及简单表示法》为例，浅谈核心素养下的概念教学设计。

一、新课引入

师：多媒体投影出虎刺梅、紫竹梅、迎春花、木槿、百合、波斯菊、西番莲花朵的图片，请学生说出这些花朵花瓣的数目。

生：分别是2，3，4，5，6，8，10。

师：古希腊的毕达哥拉斯学派提出“万物皆数”。据说他们发现了很多有意思的数，观察下列图形，找出这些数的规律。

生：第一行数是1，3，6，10，15，21……

第二行数是1，4，9，10，16，25……

师：根据形状的特点，我们形象地称它们是三角形数和正方形数。

师：一般而言，兔子在出生两个月后就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？可以列出下表：

经过月0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12数幼仔对1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89数成兔对0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144数总体对1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233数

由此可知，从第一个月开始，以后每个月的兔子总对数是多少？

生：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……

师：大家记不记得这周每天我们班的出勤人数？

生：48，48，48，48，48。

师：大家能不能说出正整数的倒数各是多少？

师：1，2，3，4，…，100 除以三的余数是多少？

生：1，2，0，1，2，0，1，2，0，…，2，0，1。

【设计意图：本课开始引用生活中花瓣的数量，让美丽的花朵引起学生的兴趣，并让他们明白，在自然生活中，只要细心观察，数学无处不在。毕达哥拉斯学派的三角形和正方形数的引入，不仅是数学文化的熏陶，更是让学生通过观察三角形数和正方形数图形的特点，归纳总结出每一项数值，培养学生的逻辑推理能力和直观想象能力，也为后期引入递推公式的概念埋好伏笔，锻炼数学抽象思维能力。斐波拉契数列作为数列上的经典数列，有让学生了解一下的必要，并且形成数据表格的过程也是数学建模的过程，根据实际的兔子繁殖问题，建立数据表格，推理出斐波拉契数列的本质特点：从第三项起，每一项是前两项的和。锻炼数学抽象，逻辑推理，数学建模，数学运算，数据分析的能力。之后的问题贴近学生的日常，在教学中拉近学生与数学的亲近感。最后两个问题的设计主要是学生对已有数学知识的应用，设置得较为简单，学生基本都能解决】

二、概念生成

在投影仪上打出刚刚总结的几列数：

师：请大家观察上面这几组数学的特点？

生1：都是数。

生2：数都排成一列。

生3：这些数有顺序。

师：在黑板上板书出数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。

师：数列1，2，3，…，40 改为3，2，1，…，40 还是不是同一个数列？

生：不是，顺序不一样，所以就不是同一组数列。

师：{1，2，3，…，40}和1，2，3，…，40 一样吗？

生：不一样，前面是集合，后面是数列。

师：那么数列和集合的概念有何区别？

生1：数列是数组成的，集合的元素不一定是数。

生2：数列有顺序，集合具有无序性。

生3：数列中数可以重复，集合中的数不能重复。

师：非常好，大家概括得很全面。

【设计意图：在新课的引入过程中，学生对这些数据的生成过程已经很熟悉，当这些数摆在面前的时候，他们自然就会对比观察出这几组数的特点，从而归纳出数列的定义。概念是越辨越明，跟熟悉的集合比较起来，学生更能深入地理解数列的特点。从具体的几组数中提炼出数列的概念，这个过程中就有对数学抽象能力、逻辑推理能力的培养】

师：集合中每一个对象，我们称为元素，那么在数列中，每一个数我们是不是也有相应的称呼呢？

生：应该也有。

师：黑板上板书：数列中的每一个数都叫这个数列的项，各项依次为第1 项（首项），第2 项，第3 项，……排在第n 位的数称为第n 项。数列中项的总数称为项数。

师：我们现在了解了数列的概念和项的概念，那么能不能用数学符号表示出来呢？

生：不知道怎么表示。

师：那大家尝试按照自己的想象来表示数列吧！在稿纸上写出来。

投影出学生的写法，方式特别多，比如：a，b，c，d，…，或A，B，C，…，或a1，a2，a3……

师：大家写得很好，都选择了用各种字母来表示数列，但如果用26 个字母表示的话，那么第27 项，28 项该怎么办呢？

生：用a1，a2，a3……可能表示无数个项。

师：非常好，大家跟数学家们想得很接近了。只是我们项数写在a 的右下方。

板书数列表示法：数列一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，简记{an}。

师：an和{an}有什么区别？

生：an是数学的第n 项，{an}表示整个数列。

【设计意图：对比集合中元素的定义，让学生联想到数列中的数应该也是有名称的，就很自然地给出了项的定义。其次，对于数列的数学符号表示，数学符号语言是数学抽象化的重要表征。学生自己想象出各种各样的符号，实际上就是培养了数学抽象能力，符号语言的生成更有助于学生理解数列的概念和特点】

师：我们再次观察这几组数，刚刚是找出了它们的共同特点，现在看看它们有什么区别？

2，3，4，5，6，8，10。

1，3，6，10，15，21……

1，4，9，16，25……

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……

48，48，48，48，48。

1，2，0，1，2，0，1，2，0，…，2，0，1。

生1：有的数列项的数目有限，有的无限。

生2，项的大小有的有规律，有的没有规律。

师：大小上什么规律？

生：第1，2，3 组是增大的，第4 组除了第1 项也表现出增大的，第5 组不变，第6 组减小，第七组忽大忽小。

师：非常好，我们发现从项的个数上区分，有两种，那么项数有限的我们就称为有穷数列，项数无限的我们称为无穷数列。那么从大小上区别，大家觉得怎么命名比较好？

生：越来越大的是增数列，越来越小的是减数列，不变的是常数列。师：那第7 组是什么数列？

生：不知道。

师：称为摆动数列。因此，按着数列的大小关系，我们可以分为四类：递增数列，递减数列，常数列，摆动数列。

师：观察下列几组数列：

1，2，3，4，5……

1，4，9，16，25……

这三个数列的第10 项是什么？

师：第100 项呢？

师：那么第n 项呢？

师：我们会发现这三个数列的第n 项都可以用n 表示出来。如果数列{an}的第n 项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。那么这三个数列的通项公式怎么表示？（请同学上黑板板书）

【设计意图：数列的分类标准不一样，那么所得分类也不一样，让学生自己观察，归纳，从具体问题中抽象出数列的单调性和项数特点，观察有些数列的特征，概括出每个数列的通项公式，需要学生较好的逻辑推理及数据分析能力】

师：数列1，4，9，16，……其通项公式是：an=n2，这是用通项公式表示出来，有点像函数的解析式，大家思考一下能不能够用其他的方法把这个数列表示出来？

生：可以试试表格。

师：很好，要不要上黑板试试？（学生板书）

n 1 2 3 … k …an 1 4 9 k2

师：还有吗？

生：画图。

师：好的，请问同学上黑板画画。

学生画出了一个二次函数的图像：

师：大家觉得这个图像有没有问题？

生：不能是连续的，应该是点。

师：重新修改学生图像如右图。

师：所以数列有三种表示方法：通项公式法，表格法，图像法。大家就会发现数列和之前学过的函数有些像，大家仔细观察下图，发现了什么？

生：数列也是函数，符合函数的定义。

师：那么得到结论，数列是特殊的函数，特别之处在于定义域是正整数集（或有限子集）。

三、投影习题，并讲评习题

例1 根据下面数列的通项公式，写出它的前5 项：

例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：

师：那么我们总结一下这节课的内容，用思维导图的形式表达出来？

【设计意图：由数列的通项公式联想到函数的解析式，进而推出数列的三种表示法，得出数列是特殊的函数。习题的设置，让学生观察数据抽象出数列的通项公式。小结用思维导图的形式总结出来，清晰简洁，体现出数学的简洁美，也更流畅地回顾了本节课的重点内容，加深了学生对本节课的理解和掌握】