地砖工人、水果摊老板或者数学家

盒饭君

家里铺地砖，为什么可选正三角形、正方形、正六边形地砖，却没有正五边形地砖？喝咖啡时，一个杯子最多可以放几颗方糖？水果摊怎么摆橘子可以放更多？这些问题听来莫名其妙，却是困扰数学家开普勒很久的密铺和最密堆积问题，也是地砖工人、水果摊老板最关心的问题。

★我要正五边形地砖

密铺和最密堆积其实是同个问题在平面和立体空间的不同体现。形象地说就是要用怎样的地砖铺满房间和能在盒子里最多装多少个橘子的问题。

说回正五边形，似乎正五边形就是不太合群。

要想用正多边形铺满房间，需要具备一个条件：围绕一个点，这个点附近瓷砖的角度数加起来是360度。等边三角形角是60度，六块拼在一起是360度;正六边形角是120度，三块就能拼成360度。

那么正五边形呢？它的角是108度，三块拼一起是324度，比360度小，就会多出来一个空间。可四块拼一起是432度，又比360度大，有两块地砖肯定会重叠，不管怎样拼，就是不行。

所以，根本没有正五边形瓷砖，也不会有超过六条边的正多边形瓷砖，它们的角度数都太大了，360度根本驾驭不了。现在很多数学家都热衷于研究不规则多边形的密铺问题，如果找到数学家也没发现的密铺图形，你可能就距离成为数学家不远了。

那喜欢正五边形的人，一点希望也没有吗？当然不是，正五边和正六边形一起就可以在球面上实现密铺啊，最典型的就是足球。

★橘子到底该怎么堆

那立体空间的最密堆积又是怎么回事？数学家在研究堆橘子问题时，喜欢用完美的球体，比如乒乓球，来讨论到底要怎么放，毕竟橘子形状大小有差异，会影响结论。

开普勒提出一个猜想，就是上下层交错摆放，能在有限空间里放最多个球。比如下层放4个，上一层就放3个，再上一层放2个，顶端放1个，最后堆出来像个金字塔。之所以说是猜想，是因为他也证明不了这就是最优方案。

既然大神开普勒都提出猜想了，数学家高斯、牛顿、希尔伯特等都跑去研究证明。最后还是1998年，数学家托马斯·黑尔斯在计算机的帮助下，才证明了开普勒的想法是对的。

话说回来，水果摊老板可不会像开普勒那样去思考，他们凭借经验就摆出了最优方案。当然我们不能说水果摊老板比开普勒聪明，毕竟在数学研究领域，证明就是一切。就像数学家哈代说的“对于无法证明的事，我没有办法相信”。

要想看装填效率怎么样，就看球体体积占空间体积的比值，也就是堆砌密度=球体体积/容器体积。按照开普勒猜想的方式多层堆积，最后得到的最大密度为0.7404。74.04%也就是盒子能装橘子的最大密度了。

开普勒迷恋的“怪物版”密铺图形

我们知道了正多边形地砖只存在正三角形、正方形和正六边形，不死心的开普勒似乎就是熱爱正五边形。于是他用正五边形、正十边形、五角星，和一个他称为“怪物”的两个正十边形拼合的图形，拼成了左边这个图案，并发表在自己《宇宙的和谐》一书中。历来不少数学家都对正五边形给予了足够的关注与爱。

如何在有限空间放更多小球？开普勒在《关于六角形雪花》的文章里率先提出来，还画了如上示意图，但是他自己并没有把它证明出来。这也是水果摊老板最常用的码堆方式。