整体思想在解题中的应用

王蕾

【摘要】高中数学教学往往侧重于学习方法和技巧的引导，有一些问题从正面看比较复杂，面对不同的问题能够运用不同的方法求解，从而达到举一反三的效果.其中整体思想具有一定的灵活性，如果能熟练掌握便可以避免“一叶障目，不见泰山”的情形，并且解题效率也会大为提高.本文通过对一些经典例题的解析说明整体思想在高中数学解题中的具体应用并给出一定的方法技巧，使得运用整体思想在解决有关数列、解析几何和函数等问题中更为方便.

【关键词】整体思想;解题;实践应用

整体思想是最本质的数学思想之一，熟练掌握整体思想，能够根据题目所给条件迅速抓住主干，并根据要求巧妙转化等式，将复杂、不规范的问题转化成通俗易懂的语言，化繁为简，从而开阔思路，提高解题效率.下面结合例题说明如何运用整体思想解决问题.

一、数列问题中整体思想的运用

例1 在数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1=32，a2=2且Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=0（n≥2），试判断{an-1}（n∈N*）是否为等比数列？

根据题目所给条件，如果先求出Sn+1，Sn，Sn-1再判断数列{an-1}是否为等比数列，计算量大并且容易出错;但若是从题目所给等式着手，用整体代换思想，将研究对象简单化，反倒更易进行判断.

解 原式可化为（Sn+1-Sn）-2（Sn-Sn-1）+1=0.（1）

当n=1时，a2-1=1=2（a1-1）;

当n≥2时，由an+1=Sn+1-Sn，an=Sn-Sn-1，

可得an+1-2an+1=0，

即an+1-1=2（an-1），

所以an+1-1an-1=2（n≥2）.（2）

则可得（2）式对n∈N*成立.

综上所述，{an-1}（n∈N*）是等比数列.

说明：（1）式这一步体现了局部→组合;（2）式这一步体现了整体代换思想.

整体代换：将有关联的子式通过一定的变形后作为一个整体，代入到另一……