0.9循环等于1

李秀敏

摘 要：中学教材小数与分数之间的转化，导致了等式的出现。而学生认为等式两边的数，个位数字1>0，所以。为解决中学生现阶段对于该等式的疑惑，本文从除法、等式的性质、等比数列前项和等中学角度，解释了这个等式，并说明以上初等理解并不严格。接着本文从高等数学的角度给出了等式的两种证明方法，第一种为实数的构造，第二种为Dedekind分割，从根本上证明了等式成立的事实。本文启发中学生从教材出发探究真理，感受数学的严谨美。

关键词：分数 无限循环小数 转化 运算

一、问题的来源

人教版初中数学七年级上册第一章有理数对小学的正整数、正分数、0进行了扩充，加入了负数，形成了有理数的概念。整数，分数统称为有理数。对于小数，小学已经接过“一般的”小数可以转化为分数，分数也可以化为小数。

有了有理数的知识我们更知道：分数和有限小数或无限循环小数是可以相互转化的。像这种可以转化为有限小数的，很显然可以在分数和小数之间建立等價关系;而对于像和无限循环小数对应的分数，如何转化建立之间的等价关系呢？直到学习了一元一次方程，该问题才得以明确提出和解决。人教版教材七年级数学上册第92页解一元一次方程的“实验与探究”，以循环位数从一 位，二位，三位...依次变大，探究了分数和无限小数之间的相互转化，从方程的角度，利用解方程给出了以上问题的具体解决方法。教材先以循环单位是一位的为例，将其转换为分数。具……