高中数学解题中“构造法”的应用

陕西省咸阳市永寿县永寿中学 康永锋

高中数学是高中学习阶段的重要课程之一，与初中和小学的数学学习相比更加困难，并且随着学习时间的不断增长，学习难度也在不断增加。因此，需要学生有效地掌握一定的解题方式，使自身能力有所提升。其中，“构造法”就是学生需要掌握的方法之一，这种方式的运用可以有效解决大多数习题。

一、“构造法”的含义和运用意义

“构造法”主要是指当学生在固定的思维方向中难以解决问题时，根据题中所给出的条件和习题的结构进行一定的假设，并通过一定的公式构建出符合习题的一种数学模型。在假设的过程中，一般构建出的数学模型都是在原有的模型中形成的。“构造法”主要是将习题中的一个未知量假设成已知量，从而解决问题，因此，“构造法”是一种化归的思想，对于解题过程有重要的作用与影响。

华罗庚就曾指出，“数”与“形”之间是不可分离的，因此“构造法”也需要与图形相结合，才可以更加直观地展示出习题所具有的特点与解题关键，数形结合思想对解题过程有着重要的作用与影响。在数形结合指导下的习题解答过程中，构造法离不开函数与方程的支持，在解答过程中运用方程与函数，可以使习题解答更加迅速且清晰。“构造法”的运用主要是对于模型的建立，因此有效帮助学生锻炼了创新性与思维能力。

二、构造法在高中数学习题中的应用

1.方程构造

方程构造是高中数学习题解答中主要运用的一种方式，这种方式主要运用的是方程知识。方程是学生学习中主要运用的一种方式，也是学生学习的主要内容，并且在习题中与函数有着紧密的联系，运用习题中存在的数量关系或结构特征，建立起一个等式，并运用各种未知数，将习题中的抽象内容转化成实质化或特殊化的内容，使得学生可以更高效率地解决问题，并对学生的能力与思想进行一定的培养。

例如：已知（u-i）2-4（i-x）（x-u）=0，求证：u、i、x成等差数列。

简析：在这个问题中，学生运用构造的方式，找寻等式所具有的特点，针对等式进行模型的建立。在本题中，通过观察可以发现，（u-i）2-4（i-x）（x-u）=0，类似于所学习的二次函数中的Δ=b2-4ac，因此运用此知识可以解决这一问题。

解：假设方程（i-x）t2+（u-i）t+（x-u）=0，

可知Δ=（u-i）2-4（i-x）（x-u）。

已知（u-i）2-4（i-x）（x-u）=0，

所以Δ=0，

所以这个方程只有一个根。

通过计算解得t=1，

所以u+i=2x，

所以u、i、x成等差数列。

在这道习题中，学生只需要构建出一个方程即可解决其中的问题。这道习题考查了学生之前所学习的知识，并且锻炼了其观察能力与思维能力，找到问题中的方程等式，如本题的关键即为建立方程（i-x）t2+（u-i）t+（x-u）=0，之后运用方程的相关知识，找寻到解题方式。只有经过锻炼和能力的成长后，才能让学生在之后的学习中快速解决问题。

2.函数构造

函数的学习贯穿了整个高中数学学习，在高中数学中有着重要的地位。因此，运用函数的构造不仅锻炼了学生的函数思想，同时提高了其实际解题能力与解题思想。在习题解决过程中，更为重要的是解题思想，而非解题方法。在学生解答习题时，可以轻易发现习题的类型大多为几何和代数这两类，并且在这两类数学习题中，都含有一定的函数思想，因此，进一步掌握函数思想对学生的解答有重要的作用与意义。

因为a＜b，所以a-b＜0，

当c∈R+时，b+c不断变大，

所以f（x）为增函数，

又如：已知（x+2y）5+x5+2x+2y=0，求x+y的值。

简析：这一习题主要是考查了函数的构建，在等式中存在两种未知数，并且次幂较高，所以很难直接运用已知知识进行求解。需要通过对等式的分析，发掘出具有同等关系的函数，建立等式。

解：将（x+2y）5+x5+2x+2y=0 进行移项，得到：

（x+2y）5+（x+2y）=-（x5+x），

假设f（t）=t5+t，这是一个奇函数，

所以f（x+2y）=-f（x）=f（-x），

所以x+2y=-x，所以x+y=0。

由于学生在高中数学的学习中，学习难度与学习压力不断增加，因此，需要学生具有更高层次的能力与思想。而“构造法”的运用可以更多地增强学生在习题解答上的理解，节省了学生的时间，对学生的学习有重要的作用与影响。