数学文化在高中数学中的渗透

王宁

摘 要：数学文化是数学史、数学文化学和社会学的交叉学科。在数学发展的过程中，随着数学知识的生成、和传播，数学思维方法、数学的思想和数学的精神品质对人类的发展是具有重要的促进和启示价值的。

关键词：数学文化 高中数学 渗透

教育部考试中心用公文明确提出，要在高考中体现数学文化。这就要求高考試题在渗透数学文化的同时，要注意与数学知识的有机结合和理性思维的本质内涵。通过创设新的情境、改变设计方法、选择合适的知识内容等方法，加强学生的数学文化学习，重视数学文化的弘扬。

近年来，数学高考进行了大胆的尝试。除了能力考试的要求外，在高考数学试题编制也注重数学文化的渗透，特别是中国古代优秀的传统文化的渗透，为了促进学生的发展理性思维，数学内容的改革的目标和能力考试新时期。

一、立体几何中的数学文化

祖暅是伟大数学家，5世纪末所提出的体积原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何图形会被与这两个平面平行的任何平面截断，如果截面的面积相同，则这两个几何图形的体积必须相同。现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图1、图2、图4分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

解：设截面与底面的距离为h，则①中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为;②中截面圆的半径为，则截面圆的面积为;③中截面圆的半径为，则截面圆的面积为;④中截面圆的半径为，则截面圆的面积为。所以①④中截面的面积相等，故其体积相等。故选D。

二、概率统计中的数学文化

圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫作“等宽曲线”。事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家勒洛命名的勒洛曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线。它的画法（如图1）：画一个等边三角形ABC，分别以A，B，C为圆心，边长为半径，作圆弧这三段圆弧围成的图形就是勒洛曲边三角形。它的宽度等于原来等边三角形的边长。等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）。在图2中的正方形内随机取一点，则这点落在勒洛曲边三角形内的概率是（）

图1             图2

A.B.C.D.

解：不妨设等边三角形的边长为1，则正方形的面积为1，勒洛曲边三角形的面积为。故选A。

三、推理与证明中的数学文化

我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）： “幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”是面积。意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。已知双曲线C的渐近线方程为y=±2x，一个焦点为（，0）。直线y=0与y=3在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN，则它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为________。

解：由题意可得双曲线的方程为，直线y=a在第一象限内与渐近线的交点N1的坐标为，与双曲线的交点B1的坐标为，记直线y=a与y轴交于点M，因为π|MB1|2-π|MN1|2=π，即该几何体任意水平截面积恒等于π，根据祖暅原理，可得旋转体的体积为3π。故填3π。

四、数学文化与其他

如图所示：假设一探测卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行。若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：

①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;

③;④c1a2>a1c2。

其中正确式子的序号是（）

A.①③  B.①④  C.②③  D.②④

解：观察图形可知a1>a2，c1>c2，所以a1+c1>a2+c2，即①式不正确;a1-c1=a2-c2= |PF|，即②式正确;由a1-c1=a2-c2>0，c1>c2>0，知，即，从而c1a2>a1c2，，即④式正确，③式不正确。故选D。

本题以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质。