巧用“旋转变换”添加辅助线

马猛

【摘要】平面几何辅助线的添加是学生学习中的难点，利用旋转变换思想添加辅助线学生更是不易掌握，本文通过几个例题总结利用旋转变换思想添加辅助线的规律和技巧。

【关键词】旋转变换   辅助线   转化

【中图分类号】G633.6

【文献标识码】A

【文章编号】1992-7711（2020）20-126-02

平面几何的辅助线添加对学生来说一直是不易突破的难点，恰当的辅助线添加往往可使一道不易解决的问题突然柳暗花明，对复杂的几何问题往往起到拨云见日的效果。而辅助线的添加 又常具有一定的规律性和技巧性，下面就从利用旋转思想添加辅助线加以总结。

知识基础

旋转定义：一个图形绕一个定点（旋转中心），沿一个方向（顺时针或逆时针），旋转一定的角度（旋转角）。

旋转性质：

1.旋转前后的两个图形全等。（对应边相等，对应角相等）

2.旋转前后的对应顶点到旋转中心的距离相等。

3.对应点和旋转中心的连线夹角相等。（都等于旋转角）

题型一   等边三角形中的“旋转”

例  已知：如图，点P是正三角形△ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A顺时针旋转后得△P'AB.

（1）求点P、P'之间的距离

（2）求∠APB的度数

分析：问题中已告知△PAC与△P'AB是旋转前后的对应图形，因而具备旋转的性质，只需连接点P、P'，即可利用旋转的性质解得。

解：（1）连接点P、P'

由题意可知 △PAC≌△P'AB

易得∠P'AP =∠BAC=60°

∵P'A=PA            ∴△P'AP为等边三角形

∴P'P =P'A=PA=6

（2）在△P'PB中，P'P =6，P'B=PC=10，BP=8

∴P'P2+BP2=P'B2          ∴△P'PB为Rt△，

∴∠P'PB=90°

由（1）知 ∠P'PA=60°

∴∠APB=150°

归纳：本题的图形经过旋转，三条原本比较分散的已知线段得到集中，产生了特殊的等边三角形和直角三角形，从而问题得解。

变式：（2019 巴中）如图 ，等边三角形△ABC内有一点P，分别连接AP、BP、CP，若PA=6，BP=8，CP=10，求S△ABP+S△BPC的值。……