消点法、添点法还原几何体的直观图

摘  要：通过消点法和添点法，可以大大简化思维量，能够高效地把空间几何体的三视图方便地还原成直观图，使得问题迎刃而解。

关键词：消点法：添点法;空间几何体的直观图

根据三视图求原空间几何体的表面积、体积、最长的棱长、直角三角形的个数、外接球的半径等，是高考数学常见题型之一，也是空间想象能力较弱的同学易做错的题型之一。数学家张景中院士在他的面积法的基础上，发展出了消点法，并由此使得机器证明几何得以实现。借鉴张院士的消点法思想，可以高效解决上述高考数学题型。下面先以2018年北京理科卷第5题为例，介绍如何“消点”“添点”。

例1 （2018年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）。

A.1     B. 2 C. 3     D. 4

解此題的关键是画出该四棱锥的直观图，困扰学生的问题一是如何画出？二是画出之后能否判断侧面是否是直角三角形？在该四棱锥的三视图中，没有任何曲线，都是直线型线段，我们可以根据该三视图中的长宽高，首先画一个完整的正方体ABCD-A1B1C1D1，如图1（1）所示。

根据题目所给的正（主）视图，消去点B1和C1，如图1（2）所示;根据侧（左）视图，消去点A1和B1，如图1（3）所示;根据俯视图，消去点B1和B，如图1（4）所示;再根据正（主）视图和俯视图添加一个点M（AB的中点），如图1（5）所示;最后把剩下的点D1、A、D、C和M，恰当地连接起来，构成的多面体就是原四棱锥，即四棱锥D1-AMCD，如图1（6）所示，由正方体的性质，很快判断出该四棱锥有三个侧面是直角三角形。

上述依次根据正（主）视图、侧（左）视图和俯视图，依次在补全的长方体（或正方体）直观图中，去掉不存在的点的方法，称为消点法。根据多个三视图，在长方体直观图中，添加点的方法，称为添点法。这里的“消点法”，和张院士的“消点法”有所不同，详情见张院士的《几何新方法和新体系》一书。

在例1中，直接根据该四棱锥的三视图画出其直观图并不难，因为该四棱锥的直观图比较容易画出来。如果根据几何体的三视图，其直观图很难想象，也很难画出来时，通过补全一个长方体（或正方体），然后利用消点法和添点法，就显得简单易行，再看两道例题。

例2 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）。

A.8+8+4

B.8+8+2

C.2+2+

D.++

首先画一个完整的正方体ABCD-A1B1C1D1，如图2（1）所示;根据题目所给的正（主）视图，消去点A和D，如图2（2）所示;根据侧（左）视图，再消去点B，如图2（3）所示;根据俯视图，再消去点B1和D1，如图2（4）所示;根据正（主）视图和俯视图添加一个点M（C1D1的中点），如图2（5）所示;最后把剩下的点A1、C1、C和M，恰当地连接起来，构成的三棱锥A1-MCC1，如图2（6）所示;最后算3个直角三角形的面积和1个等腰三角形的面积之和。

例3 某多面体的三视图如图所示，则该多面体外接球的表面积为__________.

首先画一个完整的正方体ABCD-A1B1C1D1，如图3（1）所示;根据题目所给的正（主）视图，消去点A1和D1，如图3（2）所示;根据侧（左）视图，消去点A、B、A1和B1，如图3（3）所示;根据俯视图，不需要消去任何点，图略;根据正（主）视图和侧（左）视图，添加点M（A1A的中点）和N（B1B的中点），如图3（4）所示;最后把剩下的点D、C1、C、M和N，恰当地连接起来，构成的四棱锥C1-MNCD，如图3（5）所示;最后找出球心所在位置，根据等量关系建立方程（组）求得。

通过消点法和添点法，可以大大简化思维量，能够高效地把空间几何体的三视图方便地还原成直观图，使得问题迎刃而解。

作者简介：

许苏华，1983-08-25，男，汉，安徽，一级数学教师，研究方向：数学教育