2019年全国卷I理科20题探析①

易华 龙光鹏

1.试题呈现

试题：已知函数，是函数的导函数.

（1）证明：在区间存在唯一极大值点;

（2）证明：有且仅有两个零点.

这是2019年全国卷I的理科第20题，本题考查利用导数求函数的极值、判断函数的零点，考查数形结合、分类讨论与化归转化思想。

2019年高考全國卷I的理科和文科的导数综合题都融合了三角函数，高考改卷时发现很多学生基本没有解题思路。学生的困惑在哪里？

2.解法揭秘

因为，所以，则绘制函数的图像，如图1所示：

由图1知，能清晰地看出在区间存在唯一极大值点。

分别绘制函数与函数图像，如图2所示：

由图2知函数与函数图像有两个交点，则有且仅有两个零点。

故该试题的解题思路如下：

解析：（1）因为，所以，

设，则，所以，

当时，单调递减，单调递减，

所以单调递减，又因为，

，所以在上存在唯一的零点，

则当时，，所以在上单调递增;

当时，，所以在上单调递减，

所以在区间存在唯一极大值点，

即在区间存在唯一极大值点。

（2）因为，所以函数的定义域为，

①当时，，，所以，则没有零点;

②当时，，则是函数的一个零点;

③当时，因为，

即在上存在唯一的零点，则，如图3，

当时，，所以在上单调递增，

当时，，所以在上单调递减，

又因为，，

如图4，所以在上，，则没有零点.

④当时，，所以函数

在上单调递减，又因为，，

所以函数存在一个零点;

⑤当时，，，所以，

则没有零点;

综上，有且仅有两个零点。

评析：试题主要要求学生具备以下三个方面的解题处理策略：①当一个函数的导函数不“透彻”时，采用继续求导的方式研究函数的导函数性质;②利用零点存在定理时，要密切关注函数值的正负;③函数零点存在，但不可求时，应采用设而不求的思想处理。……