2019年全国卷I理科20题探析①

易华 龙光鹏

1.试题呈现

试题：已知函数，是函数的导函数.

（1）证明：在区间存在唯一极大值点;

（2）证明：有且仅有两个零点.

这是2019年全国卷I的理科第20题，本题考查利用导数求函数的极值、判断函数的零点，考查数形结合、分类讨论与化归转化思想。

2019年高考全國卷I的理科和文科的导数综合题都融合了三角函数，高考改卷时发现很多学生基本没有解题思路。学生的困惑在哪里？

2.解法揭秘

因为，所以，则绘制函数的图像，如图1所示：

由图1知，能清晰地看出在区间存在唯一极大值点。

分别绘制函数与函数图像，如图2所示：

由图2知函数与函数图像有两个交点，则有且仅有两个零点。

故该试题的解题思路如下：

解析：（1）因为，所以，

设，则，所以，

当时，单调递减，单调递减，

所以单调递减，又因为，

，所以在上存在唯一的零点，

则当时，，所以在上单调递增;

当时，，所以在上单调递减，

所以在区间存在唯一极大值点，

即在区间存在唯一极大值点。

（2）因为，所以函数的定义域为，

①当时，，，所以，则没有零点;

②当时，，则是函数的一个零点;

③当时，因为，

即在上存在唯一的零点，则，如图3，

当时，，所以在上单调递增，

当时，，所以在上单调递减，

又因为，，

如图4，所以在上，，则没有零点.

④当时，，所以函数

在上单调递减，又因为，，

所以函数存在一个零点;

⑤当时，，，所以，

则没有零点;

综上，有且仅有两个零点。

评析：试题主要要求学生具备以下三个方面的解题处理策略：①当一个函数的导函数不“透彻”时，采用继续求导的方式研究函数的导函数性质;②利用零点存在定理时，要密切关注函数值的正负;③函数零点存在，但不可求时，应采用设而不求的思想处理。

3.突破瓶颈

面对上述的解析，学生很困惑，主要有两个方面：①在测试的时候学生没有作图工具，没办法准确地画出图1和图2的图像，所以没办法直观地感知，故没有解题思路;②第二问中的分类讨论中，为什么以和为界限呢？

在教学时，笔者认为应该关注学生的认知特征，对学生学习中出现的困难不回避，面对困惑应进行详细讲解。那么采取怎样的措施帮助学生克服难点呢？笔者尝试从以下两个方面进行突破。

3.1问题解剖

笔者在处理试题的第（2）问之前，先引导学生思考下面两个命题：

命题1：在上恒成立.

证明：令，，所以，

设，所以，

当时，为减函数，为减函数，

所以在上单调递减，

又因为，，

所以在上存在唯一的零点，则，如图5，

当时，，所以在上单调递增，

当时，，所以在上单调递减，

又因为，，，

所以在上存在唯一的零点，则，

即，，，

即在上存在唯一的零点，则，如图6，

当时，，所以在上单调递增，

当时，，所以在上单调递减，

又因为，，如图7，

所以在上，，即.

命题2：若，则函数的图像与函数图像有且仅有一个交点.

证明：构造函数，，

①当时，由命题1知，，没有零点，则没有交点.

②当时，，所以函数在上单调递减，又因为，，所以函数存在一个零点;

综上，时，函数的图像与函数图像有且仅有一个交点。

3.2巧用（1）的结论

在求解导数综合题的第（2）问时，一定要充分利用第（1）问的结论。

因为，，由（1）知，当时，的图像大致如下图8所示：

所以我们可以考虑将作为分类讨论的分界限来处理问题，即第（2）问可以得到如下解法：

因为，定义域为，，

①当时，因为，如图8，时，，时，，所以时，，没有零点;时，，没有零点;是函数的一个零点;

②当时，因为，则在上单调递减，因为，，所以在上存在唯一的零点，则，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，又因为，，所以在上，函数存在一个零点;

③当时，，，所以，没有零点;

综上，有且仅有两个零点。

通过上述方式讲解这道试题后与部分学生交流发现，这种做法是有效的，有助于学生理清这道高考题的解题思路，有利于提高学生的解题能力，有利于培养学生的核心素养。

作者简介：

易华（1969-9），汉，女，江西永修，大学本科学历，中学高级教师，研究方向：数学教育与教学。

★ 本文系江西省基础教育研究课题“高考数学命题中学科核心素养的考查方式及其对教学的反拨作用研究”（项目编号：NCSX2019-069）的研究成果.