“气缸模型”常见的呈现方式与解法分析

福建 姚龙楷

“气缸模型”是热学中最具实用价值的模型，由于外界条件的变化而引起气缸内气体的状态发生变化，往往涉及封闭气体、气缸和活塞等多个研究对象，通过“气缸模型”既能考查学生对力学、热学知识掌握的程度，又能考查学生综合运用知识和解决问题的能力。近五年的高考试卷几乎年年有此类问题，预计其仍会是今后高考的热点问题。因而在复习中要高度重视对气缸类问题的归类分析，从钻研典型习题入手，达到分析和解决同类问题的目的，提高触类旁通的能力。

其解题的一般思路是：以封闭气体为研究对象，列出理想气体的状态方程；以封闭气体的物体(如活塞、杆等)为研究对象，列出力的平衡关系方程；再结合有关几何关系，联立求解待求的物理量。

一、单气缸单气体单过程问题

【例1】一圆筒形气缸静置于地面上，如图1所示。气缸的质量为M，活塞(连同手柄)的质量为m，气缸内部的横截面积为S，大气压强为p0，平衡时气缸的容积为V，现用手握住活塞手柄缓慢向上提，设气缸足够长，在整个上提过程中气缸内气体温度保持不变，并不计气缸内气体的质量及活塞与气缸壁间的摩擦。求将气缸刚提离地面时活塞上升的距离。

图1

【解析】设气缸内气体原来的压强为p1，活塞处于平衡状态，则有p1S=p0S+mg①

气缸刚提离地面时，设气缸内气体压强为p2，地面对气缸的支持力为零，气缸处于平衡状态，则

p0S=p2S+Mg②

对于气缸内气体由玻意耳定律可知

p1V=p2(V+Sh) ③

其中h为活塞上升的距离。由①②③式可得

【点评】应用理想气体状态方程解决实际问题，要选择一定质量的理想气体为研究对象，分析它们平衡时初状态和末状态的状态参量是解题的关键。特别是题目给出满足特定条件状态下气体压强的分析尤为重要。

对本例题研究活塞的平衡初状态，由①可求出p1；研究气缸的临界平衡末状态(气缸刚要离地时的平衡态)，由②式求出p2。综合上述两个力学平衡方程和一个理想气体状态方程，就能找出解题的突破口。

二、单气缸单气体双过程问题

【例2】如图2所示，一直立的气缸由横截面积不同的两圆筒连接而成，活塞A、B用一长为2l的不可伸长的细线连接，它们可在筒内无摩擦地上下滑动。A、B的横截面积分别为SA=20 cm2，SB=10 cm2。A、B之间有一定质量的理想气体。A的上方和B的下方都是大气，大气压强始终保持为1.0×105Pa。

图2

(1)当气缸内气体的温度为600 K、压强为1.2×105Pa时，活塞A、B的平衡位置如图所示。已知活塞B的质量mB=1 kg，求活塞A的质量mA。(计算时重力加速度取g=10 m/s2)

(2)当气缸内气体温度由600 K缓慢降低时，活塞A和B之间的距离保持不变，并一起向下移动(可认为两活塞仍处在平衡状态)，直到活塞A移到两圆筒的连接处。若此后气体温度继续下降，直到活塞A和B之间的距离开始小于2l为止。试分析在降温的整个过程中，气缸内气体压强的变化情况，并求出气体的最低温度。

【解析】(1)活塞A受四个力作用，由平衡条件得

p0SA+mAg+F1-p1SA=0 ①

活塞B受四个力作用，由平衡条件得

p1SB+mBg-F1-p0SB=0 ②

其中F1为细线的拉力，p0=1.0×105Pa，p1为气缸中气体的压强，p1=1.2×105Pa

将①②式联立解得mA=1 kg

(2)气缸内温度从600 K缓慢降低时，气体先等压压缩，直到活塞A移到两圆筒的连接处为止，然后再等容降温，再到细线张力变为零。

当活塞A和B之间的距离小于2l，细线张力变为零，活塞B静止，作用于B的合力为零，即

p0SB-p3SB-mBg=0 ③

解得p3=9×104Pa

气体经历的两个过程三个状态如下所示

p3=9×104Pa

V3=SB·2l

T3=?

由③④⑤式解得T3=300 K

【点评】解本题关键在于对每一个物理状态、情景作深层次的具体分析，在第一问中细线是处于张紧状态的，所以，活塞A和B受四个力而不是三个力，分析出这一点后才能用平衡方程求解mA。

解答第二问要弄清楚整个过程分两个阶段，第一阶段由题中所给的状态到活塞A落在两筒的连接处，这一阶段气体的状态变化属于等压过程，而两个活塞仍处于平衡状态，细线仍张紧；根据这个才能判断气体体积的变化，从而可求气体的温度T2。此后气体温度继续下降进入第二阶段，题目指出“气体温度继续下降，直到活塞A和B之间的距离开始小于2l为止”，这就表明在A、B活塞间距等于2l的过程，气体的状态变化属于等容变化。在A、B间距刚要小于2l时气体的温度就是第二问要求的最低温度T3。

由本例的解答过程给我们的启示是：即使气体变化含有多个过程，只要分析清楚各阶段的变化特征，找出状态参量的变化关系，就能应用相应的定律求解，难题也就不难了。

另外，对于多个研究对象和多过程的问题，若能灵活应用整体法与全过程法，往往能使解题简化。

对本例题，(1)对A、B两活塞进行整体分析受力，由平衡条件得p0(SA-SB)+(mA+mB)g=p1(SA-SB) ⑥

联立③⑥⑦即可得T3=300 K。

三、单气缸双气体单过程问题

【例3】活塞把密闭气缸分成左、右两个气室，每室各与U形管压强计的一臂相连。压强计的两臂截面处处相同。U形管内盛有密度为ρ=7.5×102kg/m3的液体。开始时左、右两气室的体积都为V0=1.2×10-2m3，压强都为p0=4.0×103Pa，且液体的液面处在同一高度，如图3所示。现缓缓向左推进活塞，直到液体在U形管中的高度差h=40 cm。求此时左、右气室的体积V1、V2。假定两气室的温度保持不变。计算时可以不计U形管和连接管道中气体的体积。取g=10 m/s2。

图3

【解析】以p1、V1表示压缩后左室气体的压强和体积，p2、V2表示这时右室气体的压强和体积。则有

p1V1=p0V0①

p2V2=p0V0②

V1+V2=2V0③

p1-p2=Δp=ρgh④

解以上四式得

解方程并选择物理意义正确的解得到

代入数值得V1=8.0×10-3m3

V2=2V0-V1=1.6×10-2m3

【点评】1.本题破题要点：“缓慢向左推进活塞，直到液体在U形管中的高度差h=40 cm”。隐含因左边气体的压强大、右边气体的压强小导致左、右两边液面出现高度差的信息，在达到h=40 cm后有平衡方程：p1=p2+pgh。

2.对有相互联系的两部分(或几部分)气体，我们简称之为“关联气体”。研究该类问题时：(1)一般涉及两类研究对象：一是取质量一定的封闭气体为热学研究对象；二是取封闭气体的液柱或活塞为力学研究对象。(2)两种研究对象的联系：气体的压强、气体的体积。(3)分析思路：热学重在状态参量的分析，力学重在通过运动状态利用牛顿第二定律或平衡条件确定气体的压强。

四、双气缸双气体单过程问题

图4

【解析】活塞平衡时，有

pASA+pBSB=p0(SA+SB)

已知SB=2SA

B中气体初、末态温度相等，设末态体积为VB，则有

五、双气缸双气体双过程问题

【例5】如图5所示，A、B为两个固定的、横截面积相同的气缸，各有一个由硬质细杆连接的无摩擦活塞。两个气缸中分别充入理想气体，当A中气体的体积为B中气体体积的1.8倍时，活塞处于平衡状态。若在A活塞上加一水平推力，A、B中气体的体积相等。若将该推力水平向右加在B活塞上，那么A、B中气体的体积比是多少?(设气体温度不变)

图5

【解析】设B气体的初态体积为VB=V，压强为pB=p，根据题意A气体的初态体积VA=1.8V及活塞连杆初态的平衡条件，可知A气体初态的压强也是p。

设大气压强为p0，活塞横截面积为S，水平推力为F。F向左作用于A活塞，平衡时的状态为系统的中间状态；F向右作用于B活塞，平衡时的状态为系统的末状态。由题意可知系统在中间状态时VA1=VB1=1.4V，系统在末状态时VA2与VB2之比待求。

由初态到中间态，由玻意耳定律

在中间状态，F水平作用于A活塞，有平衡方程

pA1+p0S-F-pB1S-p0S=0 ③

又VA2+VB2=2.8V⑥

对B有pBVB=pB1VB1=pB2VB2

代入⑦式，注意到pB=p，VB=V

对活塞连杆有平衡方程

pA2S+p0S+F-pB2S-p0S=0

对A有pAVA=pA1VA1=pA2VA2

代入⑤⑦⑨，注意到pA=p，VA=1.8V

解方程并选择物理意义正确的解，得K=3

【点评】A、B气体的状态变化属等温过程，遵循玻意耳定律。A、B中气体的压强关系，通过活塞连杆的平衡方程可得。本题A、B气体分别涉及三个气体状态，各有两个等温过程。活塞连杆除初态外，有两个平衡态，有两个平衡方程。所以本题应用玻意耳方程和活塞平衡方程联立求解。

结束语