“图形与几何”教学如何培养数学学科核心素养

孔凡哲

教育学博士，中南民族大学教育学院副院长、二级教授、博士生导师，中南民族大学教育硕士学位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全国高考数学命题专家，国家义务教育数学课程标准研制组核心成员，高中数学课程标准研制组成员，教育部中学教师专业标准研制组成员、义务教育质量监测专家、教育现代化县级示范区评估专家、哲学社会科学重大重点项目评审专家;主持完成国家、省部级以上科研项目12项;出版专著47部;先后获得教育部第七届高等学校科学研究（人文社会科学）优秀成果奖著作奖、教育部第四届全国教育科学优秀成果奖著作奖、教育部第五届全国教育科学优秀成果奖著作奖等奖项。

“图形与几何”是小学数学的核心内容之一，培养和发展数学学科核心素养是“图形与几何”教学的核心目标之一。与发展数据分析观念是“统计与概率”领域的中心目标、发展运算能力与数学抽象素养是“数与代数”领域的中心目标相比，“图形与几何”教学的核心目标在于发展直观想象素养，培养初步的推理能力，进一步提升数学抽象素养，而运算能力、数学建模是“图形与几何”领域教学的“副產品”。

一、结合具体的几何内容的教学，培养相应的核心素养

小学“图形与几何”包含“图形的认识”“测量”“图形的运动”“图形与位置”。这些内容分别隶属于直观几何、度量几何、变换几何和坐标几何领域。

在“图形的认识”教学中培养直观想象素养、数学抽象素养。在“图形的认识”中，学习是从学生生活经验中所熟悉的形体入手，借由学生本身的知觉，经过操作与实测，以察觉、辨识几何形体的组成要素及其与几何形体之间的关系，进而确定空间的基本概念，掌握基本性质，对几何图形及其性质形成直观感受，进行初步推理。因而，在学生的几何学习历程中，教师应当给学生提供自主学习的机会，让他们探索、观察、感觉、构建和分解身边的几何形体，经历图形概念的抽象过程、几何操作过程，发展数学抽象素养、直观想象素养;经历观察、展开、折叠、拼摆、画图等几何活动，积淀几何活动经验，发展直观想象素养和初步的数学推理能力。

在“测量”教学中发展直观想象素养、运算能力。“测量”属于度量几何的内容，是从度量的视角进一步研究图形，从量的视角重新认识空间。素养蕴含在过程中，只有经历过程，才能培养学生的素养。因而，帮助学生亲身经历图形测量活动、积淀测量的直接经验，才能发展直观想象素养;让学生亲身经历几何量的计算过程，进行合理的推理和计算，才能逐步发展运算能力。

在“图形的运动”教学中发展直观想象素养和初步的数学推理能力。“图形的运动”属于变换几何的内容，是利用运动的视角研究图形、认识空间。教师只有帮助学生亲身经历图形运动变化的过程，积淀几何活动经验，发展直观想象素养，只有帮助学生亲身经历图形运动变化的过程，体验几何图形在运动中的不变性，并初步感知图形运动不变性的原因，才能逐步发展他们初步的数学推理能力。

在“图形与位置”教学中发展直观想象素养、运算能力。“图形与位置”属于坐标几何（解析几何）的内容，是利用代数量（“数对”）的视角重新刻画图形、认识空间中的位置关系。学生只有经历图形上点的定位过程和操作过程，才能发展直观想象素养，只有亲身经历点的坐标变化与图形变化之间的关系，才能发展运算能力。

二、分阶段培养直观想象、数学抽象和运算能力，各个阶段各有侧重

对小学“图形与几何”而言，几何学习要经历“直观感知——抽象——模型再抽象”三个阶段。三个阶段横跨小学数学“图形与几何”领域的全部内容。

1.第一阶段（小学低段）：直观感知、操作确认——初步建立和培养空间观念

对距离远近的感知是人的本能，这是小学“图形与几何”教学的起点;对大千世界中形形色色的实物形状感知的经验积淀，是小学生直观想象建立的源泉。

在第一阶段（一至二年级），学生应该认识现实生活中的物体，感悟三维空间，把握共性，分辨差异。以圆柱、圆锥体、球体为例，学生更容易发现差异而不容易发现共性，教师要着重引导学生体会圆柱、圆锥体与球体的共性是什么。具体的方法是，可以让学生实物操作（展开、折叠、拼摆等），理解空间的表达不仅有高低和胖瘦，还有前后、不同的截面，还可以借助分类活动体会共性和差异。

2.第二阶段（小学中段）：几何抽象——培养空间观念、建立几何直观，发展“四能”

几何抽象是从三维空间的图形中把点、线、面等基本概念抽象出来，知道它们的性质，即两点决定一条直线，三点决定一个平面;知道这些概念的关系，即点在线上、线在面上、面在体上;感悟度量的本质，即两点间的距离。除了直观认识图形，增加从运动（对称、平移、旋转）的角度研究基本图形（角、线段、三角形、四边形、圆）的运动不变性，这个阶段还要进一步培养学生的空间观念，让他们初步建立几何直观。

设计一些恰当的思维操作活动和实践操作活动是非常重要的，如让学生“拆盒子”：三年级学生会把三维的盒子的展开图表达在二维平面上;四年级学生会从二维的展开图想象出三维的盒子，从而建立三维空间和二维平面之间的联系。

再比如，在思维操作中感受“平行”的含义。教材中把“在平面内，两条不相交的直线”叫作平行线。这里的“不相交”是指永远不相交。其实，对于两条直线之间的平行关系，有多种理解方式：

（1）木工师傅虽然没有学过数学，却能通过“两条垂直于同一直线的直线是互相平行”的操作活动画平行线（如图1）。其中的道理就在于，在平面内只要两条直线同时垂直于同一条直线，这样的两条直线就是相互平行的直线，即构成平行关系。

（2）两条直线总有相同的距离，这两条直线就是相互平行的（如图2、图3）。

图2展示的是跨栏运动中的“栏”，它直立的两根柱子的高度是一样的，此时，横着的栏就平行于地面上的水平线。图3所示商场笔直的扶梯的每一段踏板之间的距离都相同，踏板两端的两条直轨之间的位置关系就是相互平行的（图中的两条黄色线）。

运用上述“平行”的含义，我们可以解释生活中的大量现象，如图4、图5、图6、图7。

现实中存在着大量的相交线和平行线，如果我们细心观察直线与直线之间的位置关系，仔细琢磨其中的道理，常常能体会到大自然的奇妙和人类的奇思妙想。比如，商场、机场的水平式的手扶电梯的两侧扶手是彼此平行的，而室外的观光电梯的轨道之间也是平行的（图4）;同向的行人在斑马线上走的是平行线（图5）;双杠的两个杠之间是平行关系（图6）;阅兵仪式中，每一排士兵所在的直线彼此之间是相互平行的（图7）;等等。

3.第三阶段（小学高段）：度量计算、渗透推理——培养直观想象素养、初步的数学推理能力，发展运算能力

对于五至六年级学生，“图形与几何”内容深化为从运动变换的视角、位置的视角和度量的视角研究图形，渗透推理意识：

（1）感悟几何度量的重要性，知道为什么要设置统一的度量单位，学会基于两点间距离的各种度量方法，会度量长度、面积、体积、角度，并且基于度量重新认识空间。

（2）随着年级的升高，几何直观的层次需要逐级提升，从最初侧重于实物直观、关注实物抽象，逐步过渡到以符号直观和图形直观为主、实物直观为辅，关注符号抽象、图形抽象（当然，与初中阶段相比，小学阶段出现的符号抽象相对偏少）。而空间观念的发展需要从涵盖“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述的实际物体”“想象出物体的方位和相互之间的位置关系”“描述图形的运动和变化”“依据语言描述画出图形”等方面，而不可局限在某些方面，比如从实物到图形的转换。

几何直观需要更高的思维水平，更需要教师在日常教学中不断地主动运用几何直观帮助学生建构自己的数学理解，有意识地培养学生的整体思维方式和数形结合的意识，并帮助学生把握往往起核心作用的那些基本图形，诸如三角形、正方形等。

（3）小学“图形与几何”通过说理、佐证渗透推理意识，培养数学推理能力不仅体现在几何概念的学习中，而且体现在图形性质的探索中。比如，拼摆纸片探索三角形的内角和。

利用拼摆三角形纸片探索三角形的内角和的规律，并非乱拼乱摆，而是引导学生按照一定规律拼摆：

如图8（2），讨论三个内角的和，最简单的思路就是将三个角放在一起（顶点重合）。比如，将∠1、∠2拼到∠3的位置，拼摆后，∠1、∠2分别拼摆到∠4、∠5的位置。此时，∠1、∠2与∠3的和变成∠4、∠5与∠3的和，而∠4、∠5与∠3形成一个平角。这个过程其实就是将∠1旋转180°变成了∠4，∠2平移到了∠5的位置。同样，如果将∠2、∠3拼到∠1的位置，如图8（3）所示。常态教学中，到这一步就结束了。其实，教师再引导一句，“上面拼摆的过程，其实通过做一条平行线就可以同时完成角的平移与另一个角的旋转，这就是作平行于第三边的平行线”，就能既自然地应用“轴对称、平移、旋转保持图形的形状不改变”的性质推理出∠1=∠4、∠2=∠5，又为初中进行严格的证明埋下了伏笔。

特别地，空间想象需要渗透在“图形与几何”学习的方方面面，而幾何直观需要渗透在数学学习的各个领域，特别是在“数与代数”“统计与概率”“实践与综合”领域。

数学学科核心素养是学生亲身经历数学化活动之后所积淀和升华的产物。学生只有亲身经历数学化活动，积淀数学抽象、推理和直观想象的直接经验，才能逐步养成运用几何的思维方式主动思考问题、分析解决问题的习惯，才能真正形成具有几何特征的数学学科核心素养。

（本文系中南民族大学2019年校级重点教研项目“卓越小学教师课程体系改革实践研究”（序号JYZD19034）成果）

责任编辑  姜楚华