透析教材 探究结论
———椭圆定义的思考

◇ 江苏 翟美华

在教材中椭圆的定义：平面内到两个定点的距离之和为定值(该定值大于两个定点间的距离)的点的轨迹．在某些例题或习题中,给出动点满足的条件,求解后发现其轨迹为椭圆或椭圆的一部分,这些动点满足的条件成为椭圆定义的重要补充形式,应用这些定义形式往往能实现问题的简捷处理．

1 伸缩定义

课本练习若M为圆x2＋y2＝4上任意一点,作MD⊥x轴于点D．在M运动时,求MD的中点P的轨迹方程．

例1F1,F2是椭圆的两焦点,点P(x0,y0)为椭圆C内部一点,判断直线y0y＝1与椭圆C的交点个数．

解析

2 斜率定义

课本练习设A(－5,0),B(5,0),直线PA,PB交于点P,且,求点P的轨迹方程．

例2如图1,M,N分别是椭圆的顶点,直线y＝kx(k＞0)交椭圆于点P,A,且P在第一象限,PC⊥x轴于点C,直线AC交椭圆于点B．证明：PA⊥PB．

图1

解析

设P(x1,y1),B(x0,y0),则A(－x1,－y1),C(x1,0),

3 距离比定义

课本练习点P(x,y)到F(4,0)的距离与其到的距离之比为,求P的轨迹方程．

例3圆C1：x2＋y2＝100,C2：x2＋y2＝16,A(－4,0),B(4,0),离心率的椭圆C过点A,B,且一条准线l与C1相切,求椭圆C与l对应的焦点F的轨迹方程．

解析

如图2,设F(x,y),过A,B,O分别作准线l的垂线,垂足分别为A1,B1,O1,由平面几何性质可得|BB1|),|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝2×10＝20．由椭圆的距离比定义可知,则|AF|＋|BF|＝10＞|AB|＝8,则点F的轨迹是椭圆,其轨迹方程为

图2