关于“三门问题”数学建模的教学与思考

周裕燕

1“三门问题”的来源和描述

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题，出自一档娱乐节目.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊（主持人事先知道门后的情況）.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的可能性？

2学生的思路及初步共识

这道题实际上是博弈论的数学游戏问题，学生兴致很高，教师不做任何的加工和提炼，给足时间，让学生独立地读题，重述问题，学生通过分析、讨论，形成以下思路：

学生1：三扇门中打开任何一扇门，后面是汽车的概率都是1/3，换与不换赢得汽车的概率不变.

学生2：在主持人打开门之前，事件空间即车的位置有3种可能，参赛者有1/3的可能拿到车.当主持人开启剩下两扇门的其中一扇的时候，这时候事件空间发生了变化，只有两种可能，汽车要么在参赛者所选的这个门中，要么在剩下的未被选择的那扇门中，因此换不换的概率都为1/2.

学生3：结果只有两种可能，汽车要么在参赛者所选的这个门中，要么在剩下的未被选择的那扇门中.如果不换，那么参赛者赢得汽车的概率不变，还是1/3，如果换的话，赢得汽车的概率应是2/3.

问题1参赛者不知道三扇门后……