巧用“转化” 一招制胜

文李爱民

所谓“转化”，就是将一个问题的解决转向另一个问题的解决，以达到化生疏为熟悉，化复杂为简单，化抽象为直观的目的的数学方法。初中阶段，我们就借助转化的思想方法学习了不同类型方程的解法。首先，我们利用等式的性质归纳出一元一次方程的解法；接着，通过消元将解二元一次方程组转化为解一元一次方程，通过降次将解一元二次方程转化为解一元一次方程，通过去分母将解分式方程转化为解整式方程。下面，老师再举一些例子，让同学们感受“转化”在方程和不等式中的应用。

一、通过“换元”实现转化

例1若（a2+b2）2-2（a2+b2）-3=0，则代数式a2+b2的值为（ ）。

【分析】将a2+b2看成整体，通过换元可以将原方程转化为一元二次方程求解。

解：设a2+b2=x，则原方程变形为x2-2x-3=0，解得x1=3，x2=-1。因为a2+b2≥0，即x≥0，所以x=3，所以a2+b2=3，所以答案为D。

【点评】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是能想到将a2+b2整体设元，同时还要注意a2+b2的取值范围。

二、通过“数形结合”实现转化

1.以形助数。

图1

【分析】已知点A、B，可以用待定系数法求出两个函数的表达式，这样就可以得到一个明确的不等式，但求解过程比较复杂。仔细观察，不难发现：解不等式实际上是比较两个函数的大小，借助图像可以简单直观地得到答案。

解：因为两个函数相交于点A、B，所以当x=-2 和x=1 时，两个函数值相等。因为反比例函数的自变量x≠0，所以比较两个函数的大小关系可以将自变量x分成4 个部分，分别是：x＜-2、-2＜x＜0、0＜x＜1、x＞1。观察函数图像，不难发现当x＜-2 或0＜x＜1 时，一次函数图像在反比例函数图像上方，即kx+b＞所以本题的答案为D。……