基于核心素养背景下探究基本不等式的应用的有效教学

【摘要】新课改下，高中数学基本不等式在教材结构上做了适当的调整，基本不等式作为一种重要的解题工具，从而引发从教者的思考。本文通过阐述基本不等式的概念和意义，分析在教学中注重基本不等式的应用和解题技巧，启发学生多维关联思维，使其体会基本不等式的重要作用，增加学习数学的乐趣，因而有效提升高中学生的数学水平。

【关键词】核心素养  高中数学  基本不等式  有效教学

【中图分类号】G633.6   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）18-0124-03

数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，也是数学育人价值的集中体现。数学学科是基础教育阶段最为重要的学科之一，高中阶段的数学教育培养出来的人是什么样的。无论接受教育的人将来从事的工作是否与数学有关，终极培养目标都可以描述为：会用数学眼光观察世界;会用数学思维思考世界;会用数学语言表达世界，即新课标界定的数学学科核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

数学核心素养是“四基”的继承和发展，而“四基”是学生形成和发展数学核心素养的有效载体。基于核心素养的教学中，强调“四基”就要把握数学知识的本质，让学生在掌握知识与技能的同时理解知识的本质，感悟知识所蕴含的数学基本思想，积累数学思维和实践的基本活动经验，从而促进学生形成和发展数学核心素养。由于学生数学核心素养的形成和发展，是在教师的启发和引导下，学生通过自己的独立思考或与他人交流，最终自己“悟”出来的，是一种逐渐养成的思维习惯和思想方法。因此，在教学活动中，把握数学内容的本质、精心设计合适的教学方案非常重要，所以，基于核心素养的教学，要特别重视情境的创设和问题的提出。

一、基本不等式的概念和意义

∀ɑ，b∈R，有ɑ2+b2≥2ɑb，当且仅当ɑ=b时，等号成立。特别地，如果ɑ>0，b>0，我们用，分别代替上式中的ɑ，b，可得≤（*），当且仅当ɑ=b时，等号成立。通常称不等式（*）为基本不等式。其中，叫作正数ɑ，b的算术平均数，叫作正数ɑ，b的几何平均数。基本不等式表明：两个正数的几何平均数小于等于它们的算术平均数。

基本不等式是一种重要且基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容，也是高考的热点，在求解最值、证明不等式、求参数范围等问题中有着广泛的应用。新教材人教A版将其安排在必修第一册第二章的“等式性质与不等式性质”与“二次函数、一元二次方程和不等式”中间，主要是学生已经借助生活实例对于不等式有了一定的理解，在学习等式性质的基础上，通过类比，研究了不等式的性质，积累了一定的活动经验， 为后续学习做了一定的准备。

基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值。同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法。因此，基本不等式内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养。

二、探究基本不等式的应用的教学

（一）生活情境融入数学问题

例1：一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金。一位顾客到店购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5g的砝码放在天平的右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次秤得的黄金交给顾客。你认为顾客购得的黄金是小于10g，等于10g，还是大于10g？为什么？

分析：学生读完题目第一想法就是物理学科中的杠杆平衡原理（动力×动力臂=阻力×阻力臂），能想到这里，问题就不难解决了。于是我们可以设天平的左臂长为ɑcm，右臂长为bcm，不妨设ɑ>b，放在左盘中的黄金为xg，放在右盘中的黄金为yg。则由天平的平衡条件可得bx=5ɑ，yɑ=5b，即x=，y=。所以x+y≥2=10（由基本不等式知：当且仅当x=y时，等号成立，但这里x≠y，所以x+y>10）因此，顾客购得的黄金大于10g。

反思：本题看似一道生活物理题，实则用数学中的基本不等式解决，通俗易懂。可见学科知识都是相通的，沒有哪门学科是独立存在的。要培养学生学会从文字中提取信息转化为数学问题的能力，即通过数学模型刻画研究对象的性质、关系和规律，这是一个基本的数学学科核心素养。同时本案例也向学生灌输了诚信做人诚信做事的思想，体现了时代的育人导向，响应了立德树人的要求。

（二）基本不等式的误解问题

例2：已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），求xy的最大值。

误解：根据条件可写出直线AB的截距式方程为：+=1.

由1=+≥2=2，得xy≤3，即xy的最大值是3。

正解：根据条件可写出直线AB的截距式方程为：+=1，则y=4-x.

于是xy=x（4-x）=-（x-）2+3≤3，即xy的最大值是3。

反思：两种解法答案一样，为什么第一种解法不正确。因为学生没有真正理解基本不等式的内涵，应用基本不等式解决问题的三步骤“一正、二定、三相等”，这里点P（x，y）为直线AB上的动点，无法确定x，y的正负号，所以基本不等式不适用。虽然答案一致，纯属巧合，如将题目条件改为“线段AB上的动点P（x，y）”或“动点P（x，y）在第一象限”，这里的x，y均为正数，即可用基本不等式，而第二种解法就不需要知道x，y的正负号，直接消元代入转化为二次函数求最值。

例3：已知两个正实数ɑ，b，满足ɑ+b=4，求+的最小值。

误解：由已知得4=ɑ+b≥2， ∴ɑb≤4，又+≥2=≥2，

则+的最小值是2。

正解：+=（ɑ+b）（+）=++≥2=.

故+的最小值是.

反思：使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对存在前提“一正、二定、三相等”的忽视，这三个条件缺一不可。连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致。错解中使用了两次基本不等式，其中ɑb≤4等号成立时必须满足ɑ=b，而+≥2的等号成立时，必须有4ɑ=b，因为都是正数，所以两个等号不会同时成立的，故这种解法是错误的。学生在利用基本不等式求最值问题时，很容易忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值时就求最值问题的现象，这是学生思维不够严谨的表现。

（三）基本不等式的变形问题

例4：已知实数x，y>0，则求+的最大值。

分析：学生看到题目时不知所措，明明知道要运用基本不等式知识来解决，却又不知如何下笔。 回想基本不等式的三步骤“一正、二定、三相等”，第一个条件正数已满足，第二个条件定形式是关键，难就难于定它的结构形式。这里用到换元的思想，

令ɑ=2x+y，b=x+2y（ɑ>0，b>0），则x=，y=.

于是+=+=-（+）≤-2=-=

当且仅当=，即ɑ=b时，等号成立。所以+的最大值是。

反思：通常学生在解答上述不等式案例的过程中存在着一定的难度性，因为这种题型需要学生先处理分式的形式，抓住基本不等式在解决最值问题中对于核心之一“积定和有最小值;和定积有最大值”的理解及构造转化。因此，学生在解答这个题目的过程中，可通过分析题设中的条件将分母进行整体的换元、拆分，从而构造出积定的形式求出最大值。其中，整体换元是解答这类题型较为常见的方法：首先引导学生思考分式的结构形式该如何改变得到积定的形式，其次基于基本不等式设置目标函数的最值求解，凸显习题的针对性和探索性的特点，明确基本不等式在解决最值问题中的基本结构，这样便能迎刃而解。

本文紧扣基本不等式的概念，分别从正、定、等三个方面逐一探究基本不等式应用的有效教学，使学生从本质上真正掌握和理解基本不等式，并学会应用。基本不等式是高中数学难点内容之一，尤其对基础薄弱的学生而言，在学习过程中会觉得吃力乏味。因此，为了改变这种状况，笔者首先从生活实例引入基本不等式的应用，直奔主题，让学生切身感受到基本不等式的使用价值，体会到数学方法解决实际问题的乐趣，激发学生的求知欲。其次，通过几个典型的易错案例，让学生真正明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”。在这个教学过程中，需要学生先动手计算，观察他们在解答过程中遇到什么样的困难或可能犯哪些错误，然后分组讨论该如何解决。这样既可以培养学生发现问题和解决问题的能力，又可以提高学生归纳总结和团结协作的意识，也使学生真正理解基本不等式的本质和内核。

三、有效教学的感悟

在高中数学不等式的教学过程中，我们常会碰到这样的学生，平时学习很认真，公式也能记得住，考试成绩却不理想。究其原因，还是没有真正理解知识的本质和内核，思路受阻打不开，解决问题的方式比较单一。所以教师需要结合教学内容选取合理的教学方法和恰当的教学案例来培养学生分析思考问题的的能力，引导学生归纳提升问题的能力，启发学生拓展思维问题的能力，充分激发学生学习不等式内容的兴趣，打破常规的教学思想，全面践行新课程深化改革的要求，落实立德树人的根本任务，达到强化高中数学课堂教学实效性的目的。所以，有效的教学过程应当是把握数学知识本质，把握学生认知过程;创设合适教学情境，提出合适数学问题;启发学生独立思考，鼓励学生相互交流;掌握知识技能，理解数学本质;感悟数学基本思想，发展数学学科核心素养。

参考文献：

[1]史宁中， 王尚志.普通高中数学课程标准解读[M].高等教育出版社，2017年版2020年修订.

[2]李光星.基于高中数学基本不等式解题技巧分析[J].數理化解题研究，2021，512（19）.

[3]陈大祥.浅析新课改下高中数学基本不等式解题技巧[J].数理化解题研究，2021，505（12）.

[4]华燕萍.五大变形方法搞定基本不等式求最值问题[J].华夏教师，2020（10）.

作者简介：

余加山（1987年-）男，安徽马鞍山人，一级教师，硕士，研究方向为从事高中数学教学研究。