函数方程思想运用于高中数学解题的思路方法

安徽省怀宁中学 万 琴

函数在高中数学教学中有着十分重要的地位，不仅是高考考查的重点内容，同时也与其他内容和知识存在着紧密联系。所以，高中数学教师在教学中必须要重视函数教学，引导学生在学习中既要掌握函数性质、图像，同时也要学会和应用函数思想，这样学生才能在日后的学习中更好地将函数思想应用在数学问题的分析和求解上，这对提高学生的数学学习质量有着极其重要的作用。

一、函数方程思想的意义

所谓函数思想实际上就是对函数概念进行全面的认识和了解，然后在数学解题中应用函数概念。方程思想则是在本质上认识和掌握方程概念，然后利用方程解决一些实际问题。在当前的高中数学学习中，绝大多数的函数问题都可以应用方程来解决，同时，许多有关方程的问题也可以应用函数的思想来解决。由此可以看出函数与方程之间存在着紧密的联系，教师在教学中必须意识到这点，让学生掌握函数方程思想，并结合实际教学内容，积极引导学生可以利用两者之间的关系解决问题，这有助于学生思维的发散和能力的提升。

二、函数方程思想运用于高中数学解题的思路方法

高中数学教学中，培养学生数学思想的主要目的就是提高学生的思维品质、解决问题能力。而要想在数学教学中实现这一目标，就必须要在教学中应用数学思想，开展针对性的教学活动，并重点培养学生函数与方程思想，这样不仅可以提高课堂教学质量，同时对激发学生学习数学的兴趣也有重要的作用，使学生在数学学习中可以具备较强的数学思维。具体教学策略如下：

1.利用函数方程思想解决代数问题

代数问题是高中数学中必须要掌握的内容，并且这部分知识所涉及的计算量非常大。学生要想解决这些问题不能仅依靠灵活地应用数字、计算方式，同时还要掌握应用多种知识解题的能力，这样才能以最快的方式解决实际的数学问题。但是，现阶段的绝大多数学生还是在使用传统的计算方式进行解题，这不仅会浪费大量的时间，同时在解题的过程中还极易出现各种计算错误。因此，教师一定要意识到问题的严重性，在平时的教学中必须要教会学生有意识地应用函数方程思想进行解题，以此来有效提高解题效率。

例题：已知不等式2x-1 ＞ m(x2-1)，该不等式对于|m|≤2 的所有实数m 恒成立，求x 的取值范围。

这道例题是高中数学中最为常见的代数题型。很多学生经过长期的学习和锻炼，会在潜移默化中慢慢养成属于自己的固定解题思维，因此在解题过程中也就习惯了用按部就班的思维模式思考题目，不仅影响了解题思路，同时也会降低解题效率。由于高中阶段的代数问题本身就具有多变性，一旦其中的一个条件发生了变化，就会使整体的解题方式和过程都发生相应的改变，所以以往固定的解题模式很难适应这种变化，对此，教师便有意识地引导学生在解题时灵活应用函数方程思想来解决实际的问题。针对本题，教师可以引导学生将其看成是关于未知数m 的不等式求解，将原式变为（x2-1）m-（2x-1）＜ 0。通过分析可知该不等式在区间[-2，2]上恒成立，这时就可以将方程转化为函数f（m）=（x2-1）m-（2x-1）。通过这种方式就可以顺利地将代数问题转化成函数问题，这不仅提高了解题效率，同时还可以大大降低学生的失误几率，促进了学生的思维发散。

2.利用函数方程思想解决三角问题

学习三角问题的最终目的就是使学生可以利用三角形中的多种代数关系来解决一些现实问题。在解决这类问题的过程中，教师可以引导学生将三角形的边角关系作为基础，对其进行函数表达式的转换，最后用函数方程思想来解决这些问题。这样一来，便可以快速地确定解题思路，提高学生的解题效率。

3.利用函数方程思想解决几何问题

在高中数学学习中，几何问题也是重要内容。要想顺利地解决高中几何问题，教师可以引导学生适当地将代数知识与几何知识结合起来，然后再应用几何问题分析方法进行讨论。之后，教师还要注意引导学生应用函数方程思想将其转化为函数表达式，最后通过解方程的形式解决复杂的几何问题。

例题：求证：对任意实数a ≠-2，动圆（a+2）x2+(a+2)y2-4x-2a=0 恒过两定点。

对于这道题目的解决，教师要引导学生运用函数方程思想，把动圆的方程转化为关于实数a 的一次函数，由这个一次函数值恒为零，推出一次项系数及常数项均为零。具体推理过程如下：

综上所述，高中数学不仅复杂，同时具有很大的难度，学生要想学好数学知识，不能仅靠努力和认真，更要在学习中掌握正确的学习方法和解题技巧。所以高中数学教师在实际的教学中，不仅要传授相应的数学知识，同时还要让学生掌握一定的函数方程思想，使其在解题时可以更加轻松地面对各类难题，最终促进数学成绩得到全面的提升。