随机变量和的模函数分布及其应用

叶瑞松

(汕头大学 数学系， 广东 汕头515063)

1 引 言

在概率论与数理统计的教学中，两个一维连续型随机变量的函数的分布及其相关的概率计算均比较复杂.很多大学生对这部分内容的学习常常理不清头绪，普遍不能够很好地掌握这部分内容，学习费力，效率不佳，可以说是事倍功半，从而导致失去进一步学习的兴趣；对数学专业的学生来说，也将影响其继续学习后续随机数学的相关课程.这其中的原因主要有两个：① 两个一维连续型变量的函数的分布及其概率的计算过程涉及较为复杂的二重积分计算， 包括积分区域的不规则，二次积分上下限的确定，累次积分的准确计算等问题.②传统教材上的例子多数脱离实际，是纯粹理想的数学构造，学生在学习过程未能切身体会其实实在在的应用背景，学习上提不起兴趣[1-4].

笔者根据多年在信号、图像信息领域中经常碰到两幅图像信息或两个信号之间的求和模运算的实际问题，发现研究两个一维随机变量X，Y之和的模函数Z=mod(X+Y，L)的分布及其概率计算，无论在理论上还是应用中均很有意义[5].这个函数在教材中是未作介绍的，但实际上这个函数在图像信息加密和编码中均发挥了很重要的作用，对这个函数的分布的研究很有必要，所得的结果可以用来指导图像信息加密和编码的应用研究.这是对概率论教材中例子的很好补充.由于该函数具有很强的应用背景，对工科学生来讲，能让……