整数环上一类三阶矩阵方程有解的充要条件

黎洪键

(华南师范大学 数学科学学院,广州510631)

1 引 言

随着人们日益对信息安全重视程度的提高,密码学就显得愈来愈重要,而整数矩阵方程的相关研究有助于新密码体系的开发[1].设,分别是全体整数和全体正整数的集合,GLn()表示上n阶可逆矩阵的集合,文献[2-10]考虑一类特殊的整数矩阵集

S(A)={Ak|k,m∈,A∈GLm()}

上的Fermat方程

Xn+Yn=Zn(X,Y,Z∈S(A),n∈)

的可解性问题,显然,研究S(A)的性质有利于这类问题的解决；钟祥贵[11]利用递归关系证明了二阶整数矩阵方程An=kE(E为单位矩阵)有解的充要条件；本文在[11]的基础上,研究三阶整数矩阵方程

An=kE(A∈GL3())

(1)

有解的充要条件.

2 引 理

定义1[11]设A是一个m×m矩阵,称使得An=kE,对某个实数k成立的最小正整数n为A的阶,记为O(A).

定义2[12]设G是群,运算记为乘法,a是G中一个元素.如果∀k∈,有ak≠e,则称元素a的阶为无穷.如果∃k∈,使ak=e,则称min{k∈|ak=e}为a的阶.

引理1[12]设a是群G中的一元,a的阶为d,k∈,则

引理2[12]n次单位根的全体Un={x∈|xn=1}对于复数的乘法运算构成一个循环群.

定义3[13]xn-1的根,称为n次单位根,又若n次单位根θ满足θn=1,θm≠1,0

引理3[13]设θ为n次单位原根, 则当且仅当(k,n)=1，θk为n次单位原根, 因而有φ(n)个n次单位原根, 其中,φ(n)为Euler函数, 即小于n且与n互素的正整数的个数.

引理4[13]对n∈有

(ii) φn(x)是整系数的首一多项式；

(iii) φn(x)是[x]中不可约多项式.

推论1若θ是n次单位原根, 则扩张次数[(θ):]=φ(n).

定义5[14]令Pn×n表示数域P上n阶方阵的集合, 设A∈Pn×n,若存在正整数m, 使得Am=kE(k≠0), 则称A为数域P上n阶拟幂幺矩阵. 若Am=kE(k≠0), 但对小于m的正整数r, 有Ar≠hE(∀h∈P), 则称m为拟幂幺矩阵A的拟幂幺指数, 记为μ(A)=m.

引理5[14]设A是复数域上n阶拟幂幺矩阵, 则

(i)A的特征值λ满足方程λμ(A)=k(k≠0)；

(ii)λμ(A)-k是A的零化多项式；

(iii)A可对角化.

引……