基于球坐标计算第一型曲面积分注记

潘 宁， 曲智林

(东北林业大学 理学院，哈尔滨150040)

1 引 言

在高等数学或数学分析教材中，关于第一型曲面积分的计算都是在直角坐标系下进行的，例如设空间曲面S的方程为

z=z(x，y)， (x，y)∈σxy，

其中σxy为曲面S在xOy平面上的投影域，且z(x，y)具有一阶连续偏导数，见图1.函数f(x，y，z)在曲面S上连续，则对面积的曲面积分(第一型曲面积分)可化为二重积分计算[1-2]

(1)

图1 直角坐标系下空间曲面

(i) 球面坐标情况：

(ii) 柱面坐标情况：

2 理论推导与实例分析

图2 球(面)坐标

点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(ρ，φ，θ)之间的关系为

若空间曲面S的球坐标方程为ρ=ρ(φ，θ)(α1≤φ≤α2，β1≤θ≤β2)，其中ρ(φ，θ)具有一阶连续偏导数.这时空间曲面S上点的直角坐标与球坐标的关系为

且有

即

解方程组得

又有

则有

所以第一型曲面积分将化为变量是φ，θ的二重积分

(2)

注 此方法本质上是利用曲面的参数方程来计算第一类曲面积分，这方面已经有结果[4]，只不过这里的参数有明显的几何意义：

图3 球面

ρ=常数，以原点为心的球面；

φ=常数，以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；

θ=常数，过z轴的半平面.

解方法1 如图3，利用公式(1)计算，将S分为

且投影区域均为σxy∶x2+y2≤R2，则

从例1中可以验证了方法的可行性，同时说明有些第一型曲面积分的计算，用球坐标计算由于直角坐标的计算.

在计算中如果球坐标系下曲面方程ρ=R，其中R为常数(即曲面是球面或球面的一部分)，有

说明球面的曲面面积微元为dS=R2sinφdφdθ，该内容对于学生理解三维波动方程的球平均法[5]是有益的.

解取极轴为正z轴，则r，θ相当于球坐标中的ρ，φ.所以球坐标系……