求解非线性方程的牛顿迭代法

李晓辉 任伟和 程长胜

摘 要：本文主要讲了求解非线性方程的牛顿迭代法。文章首先引入牛顿迭代法的公式、迭代函数。紧接着文章又介绍了牛顿迭代法的局部收敛性以及它的收敛速度，并通过数值实验验证了牛顿迭代法求解非线性方程的有效性。

关键词：牛顿迭代法;局部收敛;收敛速度

中图分类号：O010224  文献标识码：A

一、绪论

类似于线性方程组Ax=b求解的问题，非线性方程的一般问题可化为f（x）=y，即“对于什么样的x的值，函数f取值为y”，这里可以暂且先把f当成单变量函数，通常把y移项并吸收进f，从而一般形式可记为f（x）=0，因此，一个一般的一元非线性方程的求解问题有如下形式：

给定函数f，寻找x（实的或复的），使得f（x）=0。若存在一点x*满足该性质，称x*是方程f（x）=0的根或函数的零点。这类问题称为求根问题或求零点问题。

此外，方程的根的情况可分为单根和重根。一般的非线性方程的重数可以定义如下：

若f（x）=（x-x*）m·g（x）且g（x）≠0，其中，m为自然数，称x*为f（x）的m重根，m=1时也称单根。若区间[a，b]上有方程的一个实根，称该区间为方程的一个有根区间，如果能把方程的有根区间的长度缩短到一定的范围内，那么就求到了一个近似根，通常采用的都是数值求解的办法，因此若假设要求有根区间长度为0（即求到精确解），这些数值求解的办法通常都会产生一个逐渐逼近根的一个无穷序列。

求方程的近似根，一般要考虑如下几个问题：

（1）根的存在性问题，即方程有没有实根，有几个根。

（2）有根区间的确定。本文介绍的算法通常是假设有根的前提下给出求近似根的方法，一般需要以别的辅助工具先确定有根区间。……