应用方程方法解答非方程问题

杨学枝

(福建省福州第二十四中学 350015)

方程是中学数学教学中一块极为重要的内容，在数学教学中，一定要重视对方程的教学，深刻理解方程定义、方程性质，并善于应用方程的方法去解答非方程的数学问题，这样常常可以得到简捷解题效果.由此，本文将举数例说明方程在证明等式、不等式等方面的应用，同时可以看出，应用方程的方法解题的优越性.

1 应用方程证明恒等式

例1设ai,bi(i=1,2,…,n)是两组复数，ai(i=1,2,…,n)互不相等，满足

(a1+b1)(a1+b2)…(a1+bn)

=(a2+b1)(a2+b2)…(a2+bn)=…

=(an+b1)(an+b2)…(an+bn).

求证：

(1)(a1+b1)(a2+b1)…(an+b1)

=(a1+b2)(a2+b2)…(an+b2)=…

=(a1+bn)(a2+bn)…(an+bn)；

(2)a1+a2+…+an+b1+b2+…+bn=0.

证明(a1+b1)(a1+b2)…(a1+bn)

=(a2+b1)(a2+b2)…(a2+bn)=…

=(an+b1)(an+b2)…(an+bn)=m,

则x=a1,a2,…,an可看作方程(x+b1)(x+bn)…(x+bn)-m=0的n个不同的根，因此，根据方程的基本定理可知，对于任意复数x有以下恒等式

(x+b1)(x+b2)…(x+bn)-m

=(x-a1)(x-a2)…(x-an).

①

(1)在式①中，分别令x=-b1,-b2,…,-bn，即得

(a1+b1)(a2+b1)…(an+b1)

=(a1+b2)(a2+b2)…(an+b2)=…

=(a1+bn)(a2+bn)…(an+bn)

=(-1)n+1m.

(1)中的等式获证.

(2)将式①展开后，根据多项式性质，比较两边系数，即得(2)中的等式.

同理，类似(2)的解法，由式①还可得到其他有关等式，如：

等等.

在本例中，要善于从等式形式看到方程的本质，从而应用方程基本定理求解,这种解法要较其他方法清晰、简捷.

欧拉(L. Euler, 1707-1783, 瑞士)是十八世纪最著名的数学家，他不仅在高等数学的各个分支中，取得了广泛成就，就是在初等数学中，也到处留下了欧拉的足迹.其中有一个鲜为人知的关于分式的欧拉公式：

上述分式的欧拉公式可以进一步加以推广，得到一个更为一般的如下分式等式:

例2设xk(k=1,2,…,n,n≥2)是n个互不相等的复数，则有

(1)

(2)

(3)

证明由于证法类似，下面我们仅就2≤m=n时的情况用数学归纳法给予证明，以下字母均符合定理1所给的条件.

当n=2时，不难证明

=(x1+x2)-(t1+t2)，

事实上，我们如果记

-(x1+x2)+(t1+t)，

可视为以t为字母的小于或等于……