数学问题解答

2021年3月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2591(费—哈不等式的隔离): 若a,b,c,△分别为△ABC的三边长及面积,则有

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

证明首先证明链中第一个不等式.注意到

∑a(b+c-a)=2∑bc-∑(b2+c2-a2)

=2∑bc-∑2bccosA

故链中第一个不等式成立.

链中第二个不等式与熟知的三角不等式

故知链中第二个不等式也成立.至此命题获证.

2592如图，D为△ABC中AB边的中点，ω1和ω2分别为△ACD和△BCD的外接圆，ω1在点A处的切线交ω2于点E和F，ω2在点B处的切线交ω1于点G和H，证明：AC·EF=BC·GH.

(河南辉县一中 贺基军 453600)

证明如图，设直线EC与圆ω1的另一交点为G′，直线FC与圆ω1的另一交点为H′.

在圆ω1上，D，G′，H′三点与D，G，H三点都是顺时针排列顺序.

连接G′A，G′D，EB，ED.

根据弦切角的性质得

∠AG′D=∠DAE=∠BAE，

又因∠G′AD=∠G′CD=∠DBE=∠ABE，

根据上式及题设AD=BD得

又因∠G′AB=∠G′AD=∠DBE，

故△G′AB∽△DBE，从而有∠DEB=∠DBG′，

由此可知直线BG′与圆ω2相切于点B.

同理，直线BH′与圆ω2也相切于点B.

因圆ω2在点B处仅有一条切线BG(BH)，故直线BG′，BH′与直线BG(BH)为同一直线，

因此G′，H′两点依次重合于G，H两点.

设圆ω1的半径为R，由正弦定理得

因 sin∠ADC=sin∠BDC，

sin∠GCH=sin∠ECF，

(江苏省常熟市中学 查正开 215500)

设an的个位数为xn，bn的个位数为yn，anbn的个位数为gn，则

由a1=1,b1=1得x1=1,y1=1,g1=1，

反复运用递推关系(2)立得

x2=3,y2=2,g2=6；x3=7,y3=5,g3=5；

x4=7,y4=2,g4=4；x5=1,y5=9,g5=9；

x6=9,y6=0,g6=0；x7=9,y7=9,g7=1；

x8=7,y8=8,g8=6；x9=3,y9=5,g9=5；

x10=3,y10=8,g10=4；x11=9,y11=1,g11=9；

x12=1,y12=0,g12=0；x13=1,y13=1,g13=1.

由此得个位数呈现周期性，其周期T=12，因此g2020=g4=4，

所以ab的个位数字为4.

2594已知⊙W1是△ABC的外接圆(如图)，AB>AC，∠BAC的平分线AT，在AT上取一点P(△ABC的内部)，点P在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，点M为弧BAC的中点，过D、E、F三点的⊙W2交BC于点D、K，KS⊥EF于点S，射线AS交⊙W1于点N．求证：N、K、M三点共线．

(江西省高安市石脑二中 王典辉 330818)

证明设MK交⊙W1点N1．

过点N1作RQ∥FE交AB于点R，

交AC的延长线于点Q，

联结BN1、BP、BS、FD、SC、EK、CP、CN1，

因为B、D、P、F四点共圆，

故∠BPF=∠BDF．

又D、K、E、F四点共圆，

故∠BDF=∠KEF=∠KES，

所以∠BPF=∠KES，

有Rt△BPF∽Rt△KES,

有ES·BF=KS·PF, ①

同理，有Rt△FSK∽Rt△PEC，

有FS·CE=KS·PE;②

因为点P是∠BAC的平分线上的点，

PF⊥AB、PE⊥AC，

知PF=PE，由式①和②得

因为∠AFE=∠AEF，得∠BFS=∠CES．

结合式③，可得△BFS∽△CES，

因为……