对2020年全国Ⅰ卷导数压轴题的错解探源*

江西省南昌县莲塘第一中学 (330200) 李树森 李艺璇

2020年全国高考数学Ⅰ卷理科21题函数与导数压轴题，该试题重视数学本质，突出理性思维和对关键能力的考查．此题是一道以不等式恒成立为背景，具有高度的迷惑性、解题具有一定创新性的试题，本文从此题的第2问的一个典型的错误探究其错误的根源，并从多视角探究其解法.

1 试题呈现

例1 已知函数f(x)=ex+ax2-x.

(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；

本题以不等式恒成立问题为背景，考查利用导数研究函数的单调性，极值，求参数取值范围等导数中的热点问题,突出对数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养的考查.对于已知恒成立问题求参数的取值范围，是常考题型.初看本题第2问的不等式是在区间的端点取等号，很多学生容易和所谓的“端点效应”相联系而导致错误，本题除了在端点取等号同时又在区间的某点处取等号，因此学生解答此题盲目套用模型解题. 本题常用的解题策略是分离参数法，但是运算量大，让一部分考生望而却步.若在不等式的构造上做出理性分析，便可得到更简洁的解题方法.该题体现了对数学核心素养以及化归与转化思想的考查，是一道具有选拔功能的好题.

2 错解探源

这是一种很常见的错误解法，笔者将通过以下两个案例帮助探究此类问题何时适用“端点效应”，以及“端点效应”在该题当中失效的根本原因.

案例1 (2017年全国Ⅱ卷文科21题节选)设函数f(x)=(1-x2)ex，当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.

解析：由f(x)≤ax+1得……