一道椭圆试题的教学探究及其启示*

江苏省姜堰第二中学 (225500) 史记祥 朱传美

圆锥曲线的魅力经久不衰，历史上众多数学些结论家为之痴迷、陶醉.笔者在讲授此章节时，时常就某些结论引导学生进行一些引申、探究，得到了一些有价值的结论.通过这样的探究过程，很好地培养了学生的学习兴趣和探索精神，有效地提升了学生的数学核心素养.

师：这是在众多高三复习资料中常见的一道经典的试题，其证明方法并不复杂.我们感兴趣的并不在于本题的解法，而在于本题的引申及探究.

师：哪位同学来证明一下？(老师抛砖引玉，先给出引申1)

教室里安静片刻后.

生1(板书)：

图1

师：很好！我们这里把短轴两端点拓展为关于x轴对称的两点，原有结论仍然成立.那引申能否继续？(老师很自然地把问题抛给学生)

众生积极思考，跃跃欲试.

生2(板书)：

生3(板书)：

生4：证明呢？

生2、生3(害羞)：我们只是猜想，还没证出来.

师：根据我们以往的经验，这两个命题应该都是真命题，但课堂上时间有限，留给大家课后完成.

师(补充相关知识)：人们常称x轴上的横坐标乘积为定值a2的两个点为一对“伴侣点”，因为它们总是成对出现，而且相处的很和谐.

众生：哦！原来如此.

至此，学生的探究热情已被老师高高地燃起，都在积极思考着.

生5(板书)：

图2

生5：A、B就是椭圆在x轴上的一对“伴侣点”.此命题也提供了“伴侣点”的一种作法.

生5(板书)：

证明：如图2，设D(m1,n1)、E(m1,-n1)、F(m2,n2)、C(m2,-n2) (|m1|≠|m2|)，则易得A、B两点都在x轴上且横坐标分别为

师：生5利用椭圆的对称性把原有图形补充为椭圆的一个内接等腰梯形，从而发现了“伴侣点”的一种作法，看来探究很有收获.