试论分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用

梁鹏

【摘 要】分类讨论是一种重要的数学思想和解题策略，反映了整体分解的思想和分类整理的方法。发现数学对象的内在规律，有助于学生进行归纳总结，组织知识，提高思维的条理性和概括能力。运用分类讨论法进行数学问题解决教学，能提高学生解决问题的效率，促进学生思维的发展。

【关键词】分类探讨思想;初中数学;解题教学;应用

学生从小学进入初中后，在学习内容、方法和思维方式等方面都发生了很大的变化。类别讨论是数学中的一个重要概念。解题分类要正确、合理、严谨，能极大地简化复杂的问题，达到简化复杂问题、化难为易的目的。

一、分类讨论思想的概述

近年来，在中考中，经常出现分类讨论题的问题。分类讨论题不仅考察了学生运用知识点的灵活性和计算的能力，而且还考察了学生在解决数学问题时能否在各种可能情况下综合分析不同结果。分类讨论是初中数学教学中的一个重点和难点，为更好地选拔初中生，中考常以分类讨论题作为结尾来考验学生的能力。通过复习，笔者发现分类思维方法主要体现在以下几个方面：概念的分类;实数法、有理法、绝对值法;点（线、圆）与圆（圆）的位置关系法;两圆（圆）的正切法;在分析历年中考试题的基础上，作者认为分类讨论的思想渗透在以下几个方面：（1）渗透到与函数相关的分类问题中去;（2）渗透到与几何相关的分类讨论中去;（3）对数论和公式论分类问题进行了深入探讨。

二、初中数学教学的现况

虽然新课程改革逐步推动了初中数学教学的发展，但一些教师仍然受传统教学理念的束缚，那是传统的教法，把书本知识生搬硬套，把术语灌输给学生，学生很难主动思考和解决问题，导致学生创新意识淡薄，数学学习效率难以提高，不利于未来的成长和发展。因此，在数学教学中应用分类探讨思想，有利于激发学生的学习积极性，引导学生独立分析问题。运用分类讨论的方式，引导学生进行思考与探索，有助于学生创新思维能力的培养。

三、思想内容的分类探讨

分类探讨思想方法能把完整的数学概念转化为零散的数学细节，实现可靠的归纳分析。分类探讨思想是指根据数学对象的性质是否相同，将其分为不同的类别。素质教育的改革与发展，使初中数学教学体系逐步向素质教育过渡，分类探讨思想有助于提高学生数学思维的严谨度和数学知识的实践性，帮助学生对所学知识进行归纳、总结。根据应试教育的要求，运用分类讨论法，可以提高学生解决数学问题的能力。分类探討思想符合初中生的思维方式。运用分类探讨思想，有利于学生理清思路，提高数学思维能力，增强创新意识和实践能力。

四、分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用策略

（一）培养分类讨论思想

教师在日常教学中应注重对学生分类讨论思维的培养，并将其渗透到数学教学的各个环节，引导学生进行认真观察与思考。学好数学分类讨论技巧，学生在日常数学学习过程中，不能不分门别类，老师讲解数学内容时，一定要区分不同的类型和模块。在数学教学中融入分类讨论思想;如在讲解数的知识点时，老师可以把数字分成正有理数、负有理数和零分类法，然后再把它们分类探讨。分类探讨思想在教学中的不断运用，使学生感受到分类探讨思想的核心内容，有利于强化学生对数学知识的理解，形成以数学问题为核心的分类处理意识。同时还可以模仿教师的方法掌握日常的学习过程，掌握数学分类的原则。划分的基本条件对象，按照划分标准对对象进行统一，只有这样，分类讨论思想才能在数学学习中发挥更大的作用。

（二）指导学生简化数学分类法要求

初中学生的数学思维还不够完善，在不断提高的过程中，所以学生对这种数学思维概念的分类、讨论和探讨也只是处于接触之中，难免会思维过于复杂，导致学习效果不好。对此，教师应注意观察、了解学生近期的学习情况，学生采用的分类讨论法是否正确，讨论法是否简化等问题，有助于提高教学效率。《数学教材》在学习绝对值这一部分知识时，起到了很好的指导作用，比如教材中有关绝对值的三种情况。教科书中的绝对值分为三类，主要用于分类讨论。所以，教师还应将自己的思想融入数学教学过程中，让学生在对数学问题进行分类研究的同时，做到简明扼要、全面，避免因分类过于复杂而在讨论中出现错误。

（三）培养学生的数学分析能力

在数学教学中，教师应注重培养学生的数学分析能力，使学生在分类讨论问题的时候能够认真思考，以身作则。解题时还要综合考虑问题，以保证解题的全面性和完整性。教学过程中，教师应理清复杂的问题解决过程，理清数学问题解决的思路，培养学生的精细思维，引导学生多做习题，在实践中让学生认识分类原则，做到有求必应，有错必纠。

（四）运用分类讨论思想提高学生数学问题解决能力

运用分类讨论思想开展数学教育，提高学生的数学解题能力，教师应引导学生运用分类讨论思想，选择适当的数学教材内容，确定教学目标，有效地开展课堂教学，将有效的公式和定理公之于众，引导学生自己探索论证和分类。采用分门别类的讨论方法。教师应帮助学生整理分类、讨论思考、运用原则，帮助学生全面提高答题能力，使学生掌握学习技能，这也是新课程的具体要求。

五、分类讨论思想在数学中的应用实例

（一）几何学应用

初中几何知识中包含了大量的图形知识，运用分类讨论方法，可以对这类数学问题的几何知识进行更全面的探讨。比如，圆与直线之间的关系，按照圆与直线之间距离与半径之间的数量关系，可以划分为相交、相切和距离位置关系。这显然是一种典型的分类讨论思想。另外，分类器的思想可以用来计算直角三角形的边长。例如，如果你知道直角三角形的边是4和6，那么你可以找到另外一条边。先看一下，题目很简单。但也有很多同学不够全面，毕竟题目并没有说明这两条边是斜还是直。有两种情况，我们可以讨论并解决这个问题：6是斜边长，4是直边长，4和6都是直边长。分门别类的讨论实际上是一种数学思维方式。这种教学方法，渗透了分类讨论的思想，对学生学习很有帮助。本文认为，在几何图形问题解决的教学中，教师应注意将讨论式思维进行适当整合，以提高问题解决的教学质量。

（二）代数的应用

分类讨论数学问题对几何学和代数的研究具有重要意义。代数知识是非常有逻辑和严谨的，解决代数数学问题，不仅需要高效而充分的推理能力，而且需要综合的思维能力。解法的多重性是代数问题的一个显著特征，研究解的分类十分重要。例如，一个关于一维线性不等式的数学问题：一个公司决定购买5台机器来生产一些活塞，以扩大经营。目前有两种机器可供选择。每台机器的价格是50，100美元，每天生产活塞的数量是80个和50个，根据预算，购买这台机器的花费不会超过22万元。如公司购买的5台机器的日生产能力不能少于280台，应选择哪一种来节约成本？经过仔细分析，公司采购可按以下三种方案进行：方案1：不买a型机，买B型机5台;方案2：买a型机，1台，买B型机4台;方案3：买2台A型機，买3台B型机，从实例中看，解决这类问题必须分两步走，否则就容易出现解决方案不完善的情况。分类讨论通常对函数、方程等问题的求解具有重要意义。解决问题要寓教于乐，循序渐进地培养学生分类讨论意识，进一步提高学生分类讨论能力。

（三）适用于实际问题

在解决问题的过程中，数学需要学生具有较强的思维能力、学习能力、理解能力，尤其是解题逻辑能力和综合分析能力。但毕竟初中生学习经验不足，能力有限。新课改后，数学教材还增加了研究性学习等实践活动，增强了学生的综合分析能力和学习能力。因此，初中数学教师要注意把讨论思维分类，科学地运用到实际课题中去，帮助学生有条不紊地开展课题活动。例如，在八年级第二卷中，老师可以创造这样的题目：一家牛奶加工厂生产9吨鲜奶。如果直接在市场上销售，则每吨利润500元;如果直接销售，则每吨利润1200元;如果销售奶片，则每吨利润2000元，加工3吨;如果生产奶片，则每天加工1吨，由于人力有限，不能同时进行两种加工方式，温度也有限，这批奶必须在4天内出售或加工。同时，指导学生从提高企业经济效益的角度出发，设计出相应的方案。只有这样，才能真正提高学生分类讨论的思维能力，同时又能培养他们的综合思维能力，从而真正提高他们的综合实践能力。因此，初中数学教师可以采取合理的教学方法，将分类讨论的思想充分渗透到实践活动和课堂知识教学中，不断提高学生的解题能力。

六、结束语

若能清晰、安全地掌握日常学习生活中分类讨论的理由与标准，则能很好地运用分类讨论的思想。数学学研究的重点是分类讨论，它也是一个难题，它使许多学生讨厌数学，要消除这些问题，需要教师客观地讲，不要给学生太多压力，要让学生平静地接受，不要过分依赖分类讨论的思维方式。简而言之，就是以简单为基础的，为了从不同的角度审视资料，我们必须探究问题的特殊性。总之，在解决问题的过程中，我们应该仔细观察问题，找到最好的解决办法。如果把数学进行分类讨论，就会使人的思想被接受，数学能力得到培养，科学性大大提高，这种思维习惯就会对学生将来的学习和生活产生深远的影响。

【参考文献】

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