关于旋转相似模型的解读探究

徐海霞

[摘  要] 旋转相似模型是重要的几何模型，利用模型中的相似性质可进行条件推导，提高解题效率. 中考试题中常依托旋转相似模型构建综合性问题. 剖析图形结构、提取几何模型、利用模型构建思路是解题的关键，文章将剖析旋转相似模型，结合实例深入探究，并提出几条教学建议.

[关键词] 旋转;相似;模型;图形

旋转相似是中考考查的热点，该类问题往往以旋转、相似为背景来综合构建，相似模型是问题解析的核心知识，梳理相似模型的构建过程，探究图形相似的结论可总结该类问题的解题策略，对于高效解题有极大的帮助，下面深入探究.

问题引入

问题：如图1所示，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D位于AB上，且△CDE∽△CAB，试回答下列问题.

（1）求证：△CAD∽△CBE;

（2）求证：EB⊥AB.

解析：（1）可由相似三角形的性质得出两边成比例，对应夹角相等，结合已知可进一步推导相似条件，从而证明△CAD∽△CBE.

因为△CDE∽△CAB，则 = ，∠ACB=∠DCE，所以∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，则∠ACD=∠BCE，所以△CAD∽△CBE.

（2）由三角形相似可倒推对应角相等，进一步推导所涉角为90°.

因为△CAD∽△CBE，则∠CAD=∠CBE. 又知∠ACB=90°，∠CAD+∠CBA=90°，所以∠CBE+∠CBA=90°，即EB⊥AB，证毕.

原理探究

上述问题涉及了旋转相似模型，即可将△CAD视为是△CBE围绕点C顺时针旋转∠BCA后再进一步缩放所得. 解析过程往往由三角形相似性质出发，结合已知推导旋转相似三角形的条件. 模型证明过程涉及三角形相似性质及相似的判定定理，具体如下.

如图2所示，已知△ABC∽△ADE，则△BAD∽△CAE，证明过程如下：由△ABC∽△ADE可得 = ，∠BAC=∠DAE，则∠BAD=∠CAE，可证△BAD∽△CAE.

模型实质：通过两边成比例、夹角相等来判断三角形相似，同时两个相似三角形的第三边的夹角与顶角相等.

上……