基于危险值分布流模型的飞机时间间隔计算方法

潘卫军，张衡衡，殷浩然，王 昊，吴天祎

(中国民航飞行学院空中交通管理学院，广汉 618307)

随着民航运输业的快速发展，航班数量不断增长导致空中交通非常繁忙，在空域容量不变的情况下，飞机之间的间隔越来越小，从而导致两机间发生碰撞的危险值和后机受前机产生尾涡的影响越来越大。中国现行的基于距离的间隔标准可以允许管制员通过雷达显示器利用可见信息直接协调飞机间距，但也很容易受到天气情况和机场容量的影响，运行效率较低。2015年，李冰冰等[1]通过建立跑道容量模型，定量分析基于时间的间隔标准(time based separation,TBS)与基于距离的间隔标准(distance based separation，DBS)、风速变化等因素对跑道系统容量的影响程度。2015年，聂润兔等[2]对TBS在中国的应用前景进行了分析，提出制定符合中国运行安全标准的基于时间的间隔标准，将会对提升运行效率和容量起到事半功倍的效果和作用。英国国家航空局(NATS)、欧洲单一天空计划研究与开发中心经过多年的合作论证和科学研究，以时间间隔取代传统的距离间隔来确定最后进近阶段前后两机的间隔保持。在最后进近阶段运用TBS，考虑到大风天气情况对飞机性能的影响，通过保持固定的时间间隔的方法，弥补基于距离的间隔标准造成的机场容量的减小，从而大大改善机场的进场容量。基于时间的间隔标准利用排序算法约束两机的间隔，效率更高。

对Lighthill-Whitham-Richards(LWR)模型加以改进成为可用于模拟空中交通流的欧拉空中交通网络模型[3]，对比LWR模型的欧拉解法和拉格朗日解法，虽然都能等到同样的收敛结果，但欧拉解法相比拉格朗日解法，一是计算的复杂度取决于空间容量而不取决于空间中实体的数量，计算更容易进行；二是可以用控制理论等标准方法分析控制理论结构，并对空中交通流进行可控性、可达性和模型分散性分析。Wang等[4]首先引入LWR模型来描述空中交通密度流。

目前国内基于时间的尾流间隔研究还处于理论研究阶段，且理论资料相对较少，研究成果还不足以满足实际运行的要求，现使用一种改进的Lighthill-Whitham-Richards(LWR)的交通流量模型，将基于时间间隔运行时两机之间的碰撞冲突概率视为与飞机数量相关的连续分布，预测发生冲突的概率，使用速度平差法计算不同机型组合的安全间隔，使得基于时间的尾流间隔运行模式拥有坚实的理论基础。为此，提出危险值分布流模型，获得基于时间的间隔特性。利用该模型确定空域的拥挤程度，并判断飞机之间的间隔是否满足要求；考虑不同机型组合下的间隔约束，使该方法适用于飞机着陆过程中复杂的间隔情况；研究自动速度调整程序，以保持飞机之间的最小间隔时间，从而最大限度地提高进近航路容量；在分析比较现行的基于距离的间隔标准和基于时间的间隔标准的基础上，分析TBC终端区系统容量的优化效果，计算出两机之间安全合理的时间间隔，验证TBS对提升终端区容量的现实可行策略。

1 基于距离间隔的时间间隔计算

尾涡是飞机机翼产生升力的副产品，是一种产生在飞行过程中所有阶段的湍流气流，会造成飞机的滚转和失控[5]。航班数量的增多，飞机着陆过程中的间隔越来越小，尾流的影响就显得非常明显，尾涡的产生与飞机的重量有关，尤其后机为小型飞机跟随前机为大型飞机降落时，大型飞机产生更强的尾涡，小型飞机抵抗湍流的能力弱，这种情况下后机极易失控。因此在建立尾流间隔的危险值剖面时考虑了不同类型飞机诱导和抵抗尾涡的能力，危险值剖面区域的大小与飞机产生尾涡的强度有关。飞机所在位置前方的危险值剖面与后方的危险值剖面表示的意义不同，飞机前方危险值剖面表示其抵抗尾涡的能力，数值越大表示其抵抗湍流的能力越弱，后方危险值剖面表示其产生湍流的能力，数值越大表示其产生的尾涡强度越大[6]。

目前现行的间隔标准是基于空间距离，基于时间的间隔标准还处于研究阶段[7-9]。2015年TBS首次应用在伦敦希思罗机场，在综合最后进近过程中影响距离间隔和时间间隔的所有因素的情况下，使得TBS与在弱风条件下 DBS保持的时间间隔相同[10]。表1列出了中国现行的基于距离的间隔标准，根据国际民航组织的规则将基于距离的间隔标准转换为基于时间的间隔标准，以中国民用航空局CAAC规定的尾流最低距离间隔标准为基础[11]，各类型飞机平均进近速度如表2所示。

利用式(1)计算出适用于中国的不同机型组合下TBS标准，如表3所示。

(1)

式(1)中：xij表示前后机的距离间隔；vj表示后机进近速度；tij表示前后机的时间间隔。

表1 CAAC规定的尾流最低距离间隔标准Table 1 Minimum distance interval standard of wake specified by CAAC

表2 各类型飞机平均进近速度Table 2 Average approach speeds of various types of aircrafts

表3 基于平均进近速度的时间间隔Table 3 Time interval based on average approach speed

使用一个临界值衡量所有组合类型飞机间隔的指标。当飞机不存在时，该临界值为零；飞机所在位置的危险值剖面的临界值为1；当两架飞机位于同一位置时，表示空中相撞，危险临界值为2。因此进近飞行过程中该临界值应高于飞机存在时的危险峰值，并低于两架飞机相撞时的危险峰值。即在满足基于时间的最小间隔时，危险峰值应为1～2。假设把危险值剖面的检测值峰值设为1.5，飞机前后的危险值剖面分别描述了飞机抵抗和诱导涡流的能力[12]。

建立的尾涡危险值剖面如图1所示，图1中Ta表示后机到达A点所需的时间，Tb表示前机离开进近航路上A点的时间。总时间Ta+Tb表示两机之间的时间间隔。现假设临界间隔的危险值为1.5，在图1中的A点的前后飞机的危险值为0.75。根据这一假设，在满足国际民航组织ICAO规定的尾流间隔标准的基础上，建立出前后飞机的危险值剖面[13]。

对于每种类型的飞机组合，都可以表示出危险值为0.75的时间段Ta和Tb，如图1所示。采用线性规划方法计算每种类型飞机危险值剖面的Ta和Tb，列出每种类型飞机的变量如表4所示。

图1 危险值剖面图[12]Fig.1 Dangerous value profile[12]

表4 不同类型飞机的变量Table 4 Variables of different types of aircrafts

在满足间隔标准的要求下，缩小两机之间的间隔即要使表2中变量减小。

Minx

(2)

式(2)中：

b=(61 61 61 61 133 89 72 72

173 124 80 80 266 200 167 108)

为上述计算出的基于时间的间隔。通过线性计算得出每种类型飞机危险值剖面的Ta和Tb，计算得出x=(51.69 69.50 73.44 32.75 85.94 11.00 108.94 0)，如表5所示。

根据线性规划计算出的Ta与Tb，对应飞机的Ta与Tb相加确定的间隔标准如表6所示。

对于不同类型的飞机，有不同的危险值剖面图。如2图所示，重型飞机后面的危险值跨度较大，表示较大的飞机会产生较强的尾流。相反，轻型飞机前面有较大的危险值，表示较小的飞机抵抗尾流的能力较低[14]。由于危险值的急剧变化会导致模拟结果中出现尖峰和振荡。因此，危险值剖面必须在两侧平滑下降，才能使其数值计算稳定[15]。

表5 基于危险值0.75计算的飞机危险剖面的Ta和TbTable 5 Aircraft hazard profile values (Ta,Tb)calculated based on hazard value 0.75

表6 基于危险值为0.75计算的时间间隔Table 6 Time interval calculated based on hazard value of 0.75

2 危险值分布流模型

将每架飞机在进近飞行上时的危险值视为连续分布，使用改进的LWR模型来模拟进近空中交通密度流。由于增加了每架飞机在某固定位置的危险值，因此在求解改进LWR模型时选择了欧拉求解方案[16]。

图2 各类飞机危险值分布Fig.2 Distribution of dangerous value of various types of aircraft

设ρ(x,t)为到达进近航路入口的飞机密度，qin(t)为进近航路入口(此时x=0)的流量，某一位置和时刻的飞机密度满足偏微分方程[式(3)]。

(3)

式(3)中：ρ0为进近航路入口后的飞机密度初始值。改进的LWR模型偏微分方程也可以由质量守恒定律推导出。对质量守恒使用两次连续链式法则，得到位置导数和时间导数之间的关系如式(4)所示。

(4)

由式(3)和式(4)得ρt=-ρxv-ρv′。其中，ρ为飞机密度值；ρt为进近航路t时刻的飞机密度值；ρx为位置x处的飞机密度值；v和v′为不同位置处的飞机速度。

在进近航路上由于飞机速度减小，假设危险值视为密度分布，其危险值的峰值会随着密度分布范围的增大而减小。因为使用危险值之和(Ta+Tb)进行间隔是否满足标准要求，所以这对于采用基于时间的间隔是不利的。为解决这个问题，采用将危险值分布规定在与飞机速度有关的坐标y中，其中速度相对于y值是常数，然后将累积的危险值在y坐标中保持不变。令y是v(x)和x的函数，则v(y)在y轴中是一个固定常数[17]。

(5)

由式(5)得：

(6)

式(6)中：c为飞机在y坐标系中的假定速度。由此得：

(7)

令在坐标系中y值固定不变，则

(8)

由此，y坐标中ρ的时间导数为ρt=-ρy(y,t)v(y)-ρ(y,t)vy(y)，因为v(y)=c，得vy(y)=0。

因此：

(9)

因此推导出位置x和时间t之间的新关系，即

ρt(x,t)+v(x)ρ(x,t)=0

(10)

使用有限差分法求近似式(10)的解，有限差分格式从定义(x,t)平面上的点网格开始。设p和q为正数，分别表示x和t坐标中的间距。网格是任意整数m和n的点(xm,xn)=(mp,nq)。通过对式(10)的时间进行微分，可以得到

ρtt=-ρxt(x,t)v(x)-ρx(x,t)vt(x)

(11)

式(11)中：

ρxt=-ρxx(x,t)v(x)-ρx(x,t)v′(x)

(12)

有限差分网格上关于时间的ρ的二阶泰勒级数近似为

(13)

式(13)中：k为危险值系数。

危险值分布流模型可采用多种数值方法进行计算[18]。Lax-Wendroff方法具有保持良好脉冲形状的特点。因此，通过使用Lax-Wendroff方法，得到下一时刻的危险值分布为

ρ(xi,tj+1)=ρ(xi,tj)-v(xi)ρx(xi,tj)k+

v(xi)[v(xi)ρxx(xi,tj)+

(14)

危险值分布流的演化可以用过渡矩阵映射方法写成两个时刻之间的状态函数。向量形式为

P(t+1)=P(t)-diag(V)Px(t)k+diag(V)×

[diag(V)Pxx(t)+

(15)

式(15)中：P(t)=[ρ(x1,t),ρ(x2,t),ρ(x3,t),…,ρ(xm,t)]T是时间t的危险值向量;V=[v(x1),v(x2),v(x3),…,v(xm)]是速度剖面。

式(15)中其他因子为

(16)

式(16)中：D1和D2为m×m矩阵，定义为

(17)

危险值从时间t到时间t+1的演变可以写成P(t+1)=AP(t)，危险值分布的变化为P(t+n)=AnP(t)，其中：

(18)

式(18)中：I为单位矩阵。

3 速度调整

基于上述危险值分布流模型对进近航路上不满足间隔的飞机提出速度调整方法，使飞机之间保持所需的最小间隔时间，以便能够最佳地利用进近航路空域的容量。该方法简化考虑了两个相邻飞机沿同一进近航路同一方向飞行的情况。如果两架飞机以相同的速度剖面飞行，则这两架飞机之间的时间间隔保持不变[19]。

假设前机和后机分别有独立的危险值剖面Wf(t)和Wl(t)。把最小时间间隔设tsmin。从图3可以看出，基于时间的tsmin间隔定义为危险值分布峰值的临界值等于前机的Wf(-Tb)加上后机在t=ta时的危险值，即Wf(-Tb)+Wl(Ta)。根据危险值曲线，得出ts=Ta+Tb和Wf(-Tb)=Wl(Ta)。假设后机比前机速度快，会导致后机会赶上前机，基于时间间隔的时刻是tsmin。其中临界值是Wf(-Tb)=Wl(Ta)，如图3所示。调整后机的速度剖面，使得相邻两架飞机到达跑道入口之前，Wl(Ta)点的位置永远不会超过Wf(-Tb)点。为了最大限度地利用航路的容量，理想的情况是保持最小的时间间隔。其中，Ta和Tb的位置如图1所示。

前后飞机的速度分别记为v1和v2，其中v1>v2。假设在发生最小基于时间间隔之前的某个实例中，前机的Wf(-Tb)位置和后飞机的Wl(Ta)位置分别位于点A和B处。飞机在A点和B点汇合的进近航路上的位置标记为C点。其中A点、B点、C点的位置如图3所示，E点的位置是机场跑道入口的位置。C点可根据进近航路上危险值流量的模拟结果确定[19]。从A点和B点到C点所需的持续时间可使用反演速度剖面的积分计算，如式(19)所示。

图3 最小时间间隔危险值和速度剖面图Fig.3 Hazard value profile and velocity profile in minimum time interval

(19)

假设后机能够以减速度α减速，并且能够以与前一架飞机相同的速度飞行，可以生成减速曲线v(x)，通过位于a和b点的交叉点连接v1和v2。后机可以通过连接曲线v(x)逐渐将其速度从v1改变为v2。为了实现最小的基于时间的间隔，曲线的放置必须使点A和B同时到达点b。即

(20)

式(20)中：F1(x)为v1随x的变化函数；F2(x)为v2随x的变化函数。

已知在A点和B点的飞机同时到达C点，使用原始速度剖面有：

(21)

从式(20)和式(21)得知：

(22)

使用差分搜索方法，通过向上或向下移动曲线来满足式(22)，此过程计算方法如下。

步骤1令vU=v1(C)，vD=v2(C),vp=(vU+vD)/2。

步骤3使用以下迭代方法实时改变vp、vU和vD。

步骤4重复步骤2和步骤3，直到：

(23)

式(23)中：ε为可以根据基于时间的间隔的期望精度来选择的较小的正值。这确保间隔时间接近tss，但不小于tss，其中tss为前后机满足的最小时间间隔。

如果前一架飞机的速度太慢，以致后机不能使用前机的速度剖面飞行，那么发生最小时间间隔的一允许位置是在跑道入口之前。此时，原始速度剖面通过速度变化曲线过渡得到后机最小速度vm。再次搜索速度变化曲线与原始速度剖面的交点，即

(24)

式(24)中：F(x)为v随x的变化函数。

当飞机在A点和B点同时到达C点时，得到

(25)

然后，需要改变v(x)的位置，以满足式(25)。此时无法保证C点位于a点和b点之间。因此，差分搜索需要更大的范围来找到a点和b点所在的交集范围。算法和决策条件[式(22)和式(25)]不依赖于a点和b点的实际位置,只有速度变化曲线计算需要最小允许间隔点C[20]。

4 仿真结果

根据基于距离的间隔计算出基于时间的间隔，使用危险值分布流模型，建立的危险值分布如图2所示，使用的速度剖面如图4所示。前后飞机的初始位置分别位于约37 km和65 km处。由于后机速度比前机速度更快飞行，在未来的某个时间点将没有足够的时间间隔。利用危险值分布流模型，可以预测基于时间间隔过程中发生的间隔不足事件，并提出了一种新的速度剖面，使基于时间间隔的规则保持到跑道入口。

假设在进近飞行中轻型飞机跟随A380飞机，单个图中不同时间步的组合危险值分布结果如图5(a)所示，实曲线表示各时间步的危险值分布，综合危险值随两架飞机之间距离的减小而增大。最终，综合危险值超过了临界值1.5，这表明这两架飞机之间没有足够的时间间隔。根据第3节提出的速度调整程序后获得的结果如图5(b)所示，组合危险值随时间增加，直到峰值达到1.5的临界值。然而，在这种情况下，危险值峰值仍保持在临界值1.5。这表明通过使用速度调整程序，可以保持所需的最小时间间隔。

图4 前后飞机速度剖面Fig.4 Velocity profile of front and rear aircraft

图5 速度调整前后的危险值分布图Fig.5 Distribution of dangerous value before after speed adjustment

图6更好地说明了不同组合类型飞机之间的实际间隔距离和时间情况，间隔时间在开始时减少，当其值达到最小间隔时间(132 s)时停止减少，若间隔距离继续减少，则因为这两架飞机正在减速。最后的间隔距离大于国际民航组织的间隔标准，因为后机的飞行速度大于生成基于时间的间隔标准的平均着陆速度270 km/h。

图6 基于时间和距离的尾流间隔Fig.6 Wake interval based on time

5 结论

提出改进的LWR交通流模型，利用危险值分布来表示飞机在进近航路上可能发生的碰撞危险。每架飞机在进近航路上危险值分布的重叠部分可以指示基于时间的间隔水平，可以作为基于时间的间隔不足的指标。利用所提出的流动模型，提出利用后机加速度进行速度调整的算法。该算法使后机可以根据其能力进行误差修正，修正速度后的后机可以使间隔时间保持在最小要求值，从而更好地利用航道的容量。通过对危险值剖面的研究，论证了前向和后向危险值剖面的现实意义。可以为各种组合类型的飞机构建不同的危险值剖面，并且可应用在更复杂的终端区进一步优化有限空域的容量。