利用拟插值方法求解KdV方程

寿 媛，张 辉

( 西华师范大学 1.数学与信息学院； 2.教育信息技术中心，四川 南充 637009)

KdV方程是具有三阶的非线性偏微分方程，在各个领域中有广泛的用途. 近年来，诸多学者对该方程的数值方法、边界问题、初值问题、热平衡整体积分法、有限差分法等[1-7]进行研究，取得一些成果. 一般表示形式如下：

ut+εuux+μuxxx=0

(1)

其中ε和μ是正的实常数.

Multiquadric函数拟插值,简称MQ拟插值,其优点是不用求解径向基函数插值中出现的系数矩阵，能减少计算量. 诸多学者[8-13]构造了一系列拟插值算子，本文用拟插值算子：

Lf*Rf(x)=Lf*{xk(j)}f(x)+Lf*{xj}ε(x)

(2)

其中

ε(x)=f(x)-Lf*{xk(j)}f(x)，Lf*{xj}ε(x)

本文用(2)式替换KdV方程空间变量的一阶导数，用二阶中心差商思想和一阶向前差商替换KdV方程空间变量和时间变量，无须计算导数值.

1 数值方法

针对三阶KdV方程

x∈Ω=[a,b]，t>0

(3)

初始条件：u(x,0)=u0(x)，

边界条件：u(x,t)=f(t)，x∈∂Ω，t>0，ux(b,t)=g(t)，t>0.

对(3)式按照时间步长τ离散，

ut+εuux+μuxxx=0

(4)

得差分格式

(5)

即

(6)

用(2)式近似(6)式中空间变量导数ux，得

(7)

用二阶中心差商来近似uxxx近似空间变量的三阶导数uxxx，得

(8)

2 数值实验

将(7)式和(8)式代入三阶KdV方程的差分格式(6)式，求解例1和例2中两种KdV方程的数值解，记为MQQIs，计算数值解与方程解析解的绝对误差，记为Error1，与肖敏璐计算的数值解(MQQI[6])和绝对误差(Error2)进行比较.

例1单孤立波的传播[4-5]. 对于KdV方程的(3)式，其中ε=6，μ=1.

r=0.5.

其中边界函数f(t)和g(t)均可以从精确解u(x,t)中获得. 计算时取0≤x≤40，0≤t≤5，c=0.2799，τ=0.001，h=0.2.

例2双孤立波的传播[4-5]. 对于KdV方程的(3)式，其中ε=6，μ=1.

初始条件：u0(x)=12

精确解：u(x,t)=12

其中边界函数f(t)和g(t)均可以从精确解u(x,t)中获得. 计算时取-5≤x≤15，0≤t≤0.1，c=0.01，τ=0.00001，h=0.1.

由表1、表2、表3可知： 第一，时间t取值相同时，随着空间节点x的增大，本文方法的数值解MQQIs比肖敏璐的数值解更接近解析解，其绝对误差较小； 第二，空间节点x相同时，时间t取值越小，本文方法的绝对误差Error1在变小，且低于肖敏璐的绝对误差Error2. 表明本文对单孤立波的KdV方程的数值求解方法具有较好的逼近精度.

表1 当t=1时，例1本文方法与肖敏璐[6]法之比较

表2 当t=3时，例1本文方法与肖敏璐[6]法之比较

表3 当t=5时，例1本文方法与肖敏璐[6]法之比较

由表4、表5、表6可知： 对时间t取值和时间t取值的大部分数据而言，其绝对误差处于同一精度，得出的规律和例1基本一致. 表明本文对双孤立波的KdV方程的数值求解方法具有较好的逼近精度.

表4 当t=0.01时，例2本文方法与肖敏璐[6]法之比较

表5 当t=0.05时，例2本文方法与肖敏璐[6]法之比较

表6 当t=0.1时，例2本文方法与肖敏璐[6]法之比较

通过数值算例可得，本文的数值算法不需要求解线性方程组，有效地避免数据过多出现高阶线性微分方程组的病态矩阵的求解问题. 数据结果具有良好的精度，表明数值方法是可行的.