拓展思维空间 培养发散思维
——以一物理竞赛试题为例

黄国超

(浙江省杭州第二中学钱江学校 311200)

一题多解对于培养学生从不同角度、不同侧面去分析问题、解决问题，有利于调动学生思维的积极性，锻炼学生思维的灵活性，培养学生思维的创造性.掌握“一题多解”的最终目的是为了“拓展思维空间、发散解题思路，激发学生学习兴趣”.

例如图1所示，在掷铅球时,铅球出手时距地面高度为h,出手时的速度为v0,若忽略空气阻力.问铅球以何角度掷球时,水平射程最远?最远射程为多少?

解法一构造二次函数求最值.

将铅球的运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动.设铅球初速度方向与水平成θ角，建立如图2所示的直角坐标系，则速度可分解为：

vx=v0cosθ(1)vy=v0sinθ

(2)

设水平射程为S，则水平、竖直位移可分别表示为：

x=S=vx·t

(3)

(4)

将(1)式代入(3)式，将(2)式代入(4)式；可得：

S=v0tcosθ

(5)

(6)

运用数学方法求解最值过程中，我们可以采取以下两种方式处理.

(7)

将(7)式代入(6)式，得：

(8)

(9)

整理成关于tanθ的二次方程：

(10)

方程有解，要求：Δ≥0

(11)

(12)

(13)

将(12)、(13)式代入(5)式，可得：

(14)

(15)

(16)

将(16)式代入(15)式，整理得：

(17)

(18)

(19)

解法二运用矢量关系求最值.

将铅球的抛体运动分解为初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，用矢量合成法则求解.笔者也有两种数学处理方式：

处理方式(三)：通过位移矢量合成，各位移矢量如图3所示，根据勾股定理，水平射程S可表示为：

(20)

(21)

(22)

由图3知：

(23)

处理方式(四)：通过速度矢量合成，如图4所示，线段OA代表初速度v0，与水平方向成θ角；AB代表vy=gt方向竖直向下；OB表示着地速度v.

(24)

(25)

三角形OAB的面积S△可表示为：

(26)

(27)

而水平射程可以表示为：S=v0tcosθ代入(27)式得：

(28)

由(28)、(26)两式可得：

(29)

由上式可知，当sin∠AOB=1时，即v与v0垂直时，射程S最大 .将(25)式代入(29)式即得：

(30)

(31)

对一复杂运动总是分解为几个简单的运动来研究；而抛体运动无论是在高考还是竞赛中都是一个重要的运动模型.解法一是分解抛体运动的一种常规方法：水平的匀速运动和竖直的匀变速运动，构造二次函数的方法求最值，这是一种最普遍的方式；解法二是将抛体运动分解为初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，这种通过几何关系求解最值，使处理问题简洁、快捷.本题中解法二明显胜于解法一，数学处理方式(四)优于处理方式(三).

总之，在习题教学中，教师要了解学生的现有认知结构、知能水平和学习心理，精选习题，掌握难度，通过对问题、情景、思路的发散，注重知识的迁移作用.通过一题多解、一题多联拓展思维空间，突破思维壁垒.