例析集合内容的典型错误

余铁青

(广东省中山市桂山中学 528463)

同学们进入高中之后，接触到的第一个数学概念就是集合.人们常说好的开头是成功的一半，所以学好集合对于刚进入高中的同学们是重中之重，因为这部分内容是后续学习的基础之中的基础！经历几届学生之后，笔者基于实践总结出作为初学者所容易犯的错误，以期帮助大家准确理解集合的内涵.

云浮山很少会有外族人造访，实际上，这也是青辰第一次真正见识到中州人。不过，有曾经去过中州的族人，他们回来后，曾绘声绘色地向族人们炫耀自己在中州遇到的奇闻逸事，并不可避免地提到了中州人的长相。

一、实例剖析

1.注意厘清谁是元素

4.自动驾驶功能驾驶员有不当适用，但驾驶员驾驶或操作没有过错，也没有违反道路交通安全法律法规，此种情况下交通肇事的法律责任由自动驾驶功能的制造商或供应商承担责任；

常见错解由题意知A=(-1,+∞)，B=(0,+∞)，所以A∩B=(0,+∞)，故选B.

下一步，安垦农场要利用好低纬度、高海拔、寡日照兼具的原生态环境，利用好甲级旅游城市和最佳避暑旅游城市的生态优势，打造“香气浓郁、滋味醇厚、鲜爽”的茶叶好品质。

C.[0,+∞) D.(0,2)

A.(-∞,0] B.(0,+∞)

剖析此处容易忽略两个问题，第一是集合A中表示的是元素y的集合，并不是x的集合；第二，此处集合B中的x∈A，对整体题目解答影响很大，但是很多人容易忽视，很多时候是会对集合B的实际取值范围造成影响的.正解应该是集合A中的元素y，可以理解成值域，即A=(-∞,+∞)，注意到集合B，它实际是指数函数的局部函数图象，结合图象知B=(0,2)，所以A∩B=(0,2)，正确答案应该是D.此类题需特别厘清谁是元素，并注意定义域的变化和限制条件.

剖析准确区分元素的特点，集合A是数集，而集合B是点集，本质上不是同一类，所以不存在交集或者包含关系一说.最终将答案固定在D.特别要注意集合{(2,3)}与集合{(3,2)}还有集合{2,3}是两两不相同的，所以集合的书写一定要注意准确规范，切不可粗心大意.

2.注意厘清数集与点集

例2已知集合A={y|y=x2+1}，B={(x,y)|y=x2+1}，则集合A与集合B的关系为( ).

A.A=BB.A⊂BC.A⊃BD.A∩B=∅

合唱教学活动是艺术教育实施的重要构成要素，也是小学音乐教学的主要内容之一。在音乐课程教学中，对合唱教学的规定是要求在歌曲演唱中能掌握基本演唱技能，并结合实际的演唱实践活动开展丰富的教学活动。通过重视和强化合唱教学，能让学生感受到多声部音乐的表现力，并提高与他人合作表演的能力。开展有效的音乐教学活动，不但能提升学生的音乐综合素养，而且能培养学生的团队合作精神。

6.注意含字母集合做完之后要检验

孙山连续两天没跟沈敏联系。到了三月十六日，沈敏将阅读中的小说扔在一边，陷入了沉思——她对小说的抽丝剥茧交织着对孙山的牵肠挂肚——连日来头脑在高速运转，对他的想念仍时刻浮现。她的心有点乱，他的电话就来了：

3.注意集合的互异性

旧模式，故风险较少，但销售量和固定成本敏感系数较高。新模式比较依赖于单价和销售量。新模式下，对固定成本和销量的敏感程度分别提高了2.16倍和1.18倍。相比新模式，旧模式则比较依赖于单价和单位成本，固定成本的敏感性最弱，故新模式下要注意销量的增长和固定成本增加的协调关系。对于新、旧经营模式的差异，可通过单因素分析其临界值，而多因素分析则反映了市场条件下，多种因素共同作用对目标利润的影响和风险程度(表6)。

对于高速航行状态下的气液两相冲压发动机, 其表面也会产生严重的气蚀现象并对发动机性能产生一定影响, 本文采用Schnerr等[28]在2001 年提出的气蚀模型对发动机进行建模, 其主要控制方程如下:

例3已知集合A={1,3,a}，集合B={1,a2-a+1}，若B⊆A，求a的值.

常见错解当a2-a+1=3时，a=-1或者a=2；当a2-a+1=a时，a=1；综上，a的值为±1和2.

剖析将此题第二种情况下解得的a=1代入集合A中，会发现集合A里面的两个元素都是1，这与集合的互异性产生矛盾.在集合的三要素中，考查互异性的概率最大，题型也相对多变，一定要牢记里面的字母或者参数求出来之后要代入进行重新检验.

4.注意不要忽略空集

强烈的团队荣誉感是一种无形的力量，有了团队荣誉感，队员就会热爱团队并发挥主动性和创造精神，做到心往一处想、劲往一处使，形成一种合力，从而使团队更具凝聚力和竞争力。年轻教师要善于利用每天的例会，每周总结会，赛前、赛中、赛后的总结会引导队员树立“队强我荣，队衰我耻”荣辱观，针对性、有目的地加强集体主义精神和团队意识的培养和教育。巧妙地通过荣誉证书、破校县市纪录、体育院校录取通知书、赛前赛后的合影、平时训练的剪影、比赛录像等记录团队发展壮大的足迹，提升队员的荣辱感、自豪感，增强团队凝聚力。

5.注意等价转化的合理性

从式(2)可知，直线的斜率为0.59，此时直线与水平面的角度大约为31°。由于上部土层受到邻近斜拱桩基产生的巨大水平推力的被动挤压，土体处于被动土压力状态，根据朗肯被动土压力理论，此时土体的剪切破坏面与水平的夹角为为影响深度范内土层的平均内摩擦角，大约为20°)，这与拟合直线与水平面所成的角度相差4°左右。

常见错解分不清一个是数集另一个是点集，直接都看成了数集，把集合A化简为A=[1，+∞)，集合B化简为B=[1,+∞)，从而错选答案A.

例6若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|log2(x2-5x+8)=1}，C={x|x2+2x-8=0}，若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值.

常见错解由题意知：B={2,3}，C={2,-4}.因为A∩B≠∅，所以2和3至少有一个是集合A的元素.又因为A∩C=∅，所以2∉A,-4∉A，从而3∈A，于是代入集合A，得9-3a+a2-19=0，解得a=-2或者a=5.

例4已知集合A={x|x-a=0}，B={x|ax-1=0}，若A∩B=B，则实数a的值是.

剖析此题显然是忽略了检验，当a=-2时，A={3,5}，A∩B={3}≠∅且满足A∩C=∅，符合题意；当a=5时，A={3,2}，此时A∩C={2}与题设所给条件A∩C=∅矛盾，故舍去a=5.综上，a=-2.这类试题就是利用了大家做题时急于求成马虎大意的缺点，在解答之后不注重检验造成非智力因素的失分.

7.注意逆向思维运用

例7已知A={x|x2-(a2+a+1)x+a(a2+1)>0}，B={x|x2-6x+8≤0}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围.

（3）水体总悬浮物浓度垂直剖面变化受水位变化、水体流速和流态的改变、采砂活动等湖区自然条件和人类活动影响，也受到五河来水的浑浊程度影响，使得沿程纵向变化明显，存在显著的层化现象。高浑浊水体悬浮物浓度随深度变化的斜率比中低浓度的小，主要原因可能是高浑浊水体的粒径较大，沉降速度较快，导致其沿深度方向的悬浮物浓度迅速增大。

常见解题思路有部分同学会被直接卡在集合A的化简处，还有一部分同学觉得要分类讨论，给整体题目的解析增加了不少计算量.

再如求多个含相同参数的一元二次方程至少一个方程有根，求里面参数的范围.若直接进行分类讨论势必造成情况特别多，仅以三个方程为例，都要讨论7次，随着方程个数的增多会直接导致分类情况增多.假设我们直接考虑若干个方程都不存在根，只要取一下交集，然后取剩下的补集即可，大大减少计算量，有效提高效率，所以转变思路逆向思考，有时会有出其不意的效果.

8.注意端点的取舍

采用黄希庭等编制的《大学生学习动机问卷》，问卷分为26个项目，分6个维度：求知进度、社会取向、物质追求、害怕失败、个人成就、小群体取向，采用6点计分。

A.(-∞,-1) B.[-1,2]

C.(-1,2) D.[2,+∞)

三、写在最后

我们要学好集合知识，就要梳理出集合的知识体系.基于笔者水平有限，目前仅能粗略地归纳总结出以上一些容易忽略或者犯错的知识点.只要大家适当地进行训练，避免不必要的错误，切实增强理解，就能提高成绩.