基于数学抽象的概念形成：模型与案例①

刘春艳 冯启磊

(北京教育学院数学系 100044)

1 问题提出

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课标》)提出，数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现．其中数学抽象位于六大学科核心素养之首，是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础．从数学内容来看，数学源于对现实世界的抽象，概念是数学的核心内容，因此，获得数学概念是数学抽象的主要表现之一，数学概念的形成也是发展学生数学抽象的重要载体．在实际教学中，如何从情境中抽象出数学概念，既是重点也是难点．为此，很多学者开展了大量研究．

关于概念学习，杜宾斯基(Ed Dubinsky)等人提出APOS理论，强调学习者在学习数学概念时要经历4个心理建构阶段，即操作(Action)、过程(Process)、对象(Object)、图式(Scheme)．奥苏贝尔(D.P. Ausubel)提出与概念形成的最高发展形式有关的心理过程，大致有八个环节．结合此结论，曹才翰与章建跃两位学者提出了概念形成的过程模式(如图1)．

图1 概念形成的一般过程(曹才翰，章建跃，2006)

为了更精确地刻画数学领域中抽象性的含义，徐利治教授给出了弱抽象、强抽象和广义抽象的概念，并指出弱抽象的过程依据“特征分离概括化原则”，强抽象的过程依据“关系定性特征化原则”[1]．对于具体数学概念的抽象过程，史宁中教授根据抽象程度的不同，分为三个阶段，或者说三个层次：一是简约阶段，把握事物关于数量或图形的本质，把繁杂问题简单化，给予清晰表达；二是符号阶段，去掉具体内容，利用符号和关系术语，表述已简约化的事物；……