探寻破解导函数正负困境的策略

广东 刘光明

本文根据2021年1月30日教学考试杂志社举办的“八省市新高考适应性联考分析会”主题分享《基于八省适应性试题谈破解导函数正负困境的策略》梳理而成,期盼更多的交流.

利用导数处理函数综合问题是高中必不可少的内容,基本流程是求导后根据导函数的正负分析原函数的单调性,然后利用单调性处理函数的极值、最值等相关问题.由此可见,导函数的正负判断是函数综合问题的关键点,如若导函数的正负判断陷入困局,那么解决问题就会出现卡壳现象.本文抓住这一核心问题,通过实例剖析,试图从再导一次、分类讨论、分离函数、放缩法和巧设零点等五个思考方向寻求突破导函数正负难辨困局的策略.

策略1:再导一次

“再导一次”是对原函数f(x)的导函数f′(x)进行再一次的求导,根据二阶导函数f″(x)的正负情况分析导函数f′(x)的函数性质,进而推理导函数f′(x)的正负情况.有时还会对导函数进行多次求导,逐层分析函数性质,从而处理问题.

故函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递减.

又g(1)=0,所以当00,此时f′(x)>0,

当x>1时,g(x)<0,此时f′(x)<0.

因此函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.

策略2:分类讨论

分类讨论思想是数学中处理复杂问题的常见思想,尤其是在处理含参情况时特别有效,故导函数含参时,根据参数进行分类讨论是自然能联想到的处理方法,但导函数不含参数却又正负难以判断时,比较难以进行分类讨论,其实遇到导函数中含有三角函数等难以处理的情况……