运用分类整合思想 提升数学素养品质

山东 杨长智

分类与整合思想是指面对比较复杂问题时，无法通过统一或者整体研究解决，需要把研究对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决.其实就是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”.

分类与整合思想解题的一般步骤:(1)根据研究需要确定分类标准；各类之间要做到“不重不漏”；(2)逐类逐级进行讨论；(3)综合概括、归纳得出最后结论.本文以2020年高考题为例，剖析在高考中如何考查分类与整合思想，在教学过程中如何分析，提升学生核心素养.

例1:(2020·全国卷Ⅰ文·16)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1，前16项和为540，则a1=________.

教师用PPT展示题目，并让学生回答.

学生1:需要对n进行讨论，分n是奇数和偶数两种情况.

教师:令S16=S奇+S偶=(a1+a3+a5+…+a15)+(a2+a4+a6+…+a16).

学生1:当n为偶数时，S偶=(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)，恰好是n取2，6，10，14的情况；当n为奇数时，需要累加分别把a3，a5，…，a15,用a1来表示.

教师:好，根据这种思路我们就得到解题方法一(展示PPT).

解法一:分类讨论，逐项突破

当n为奇数时，

a3-a1=2,a5-a3=8,a7-a5=14,a9-a7=20,a11-a9=26,a13-a11=32,a15-a13=38,

分别累加得

a3-a1=2,a5-a1=10,a7-a1=24,a9-a1=44,a11-a1=70,a13-a1=102,a15-a1=140，

即a3=a1+2,a5=a1+10,a7=a1+24,a9=a1+44,a11=a1+70,a13=a1+102,a15=a1+140，

上面各项相加得

a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=7a1+392，

所以S奇=8a1+392,

而S偶=(a4+a2)+(a8+a6)+(a12+a10)+(a16+a14)=5+17+29+41=92，

S16=S奇+S偶=8a1+392+92=8a1+484=540.

所以a1=7.

教师:对于项数不太多时，我们可以把每一个奇数项用a1表示，但项数较多时，这种方法就不可取了，那我们还有没有其他思路呢？

学生2:我们对n为奇、偶数进行分类讨论，看能不能得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用a1表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和.

教师:很好，根据这种思路，我们求出奇数项时a2k+1与a1的关系(展示PPT).

解法二:分类讨论，递推突破

an+2+(-1)nan=3n-1，

当n为奇数时，an+2-an=3n-1，即

a3-a1=3×1-1，a5-a3=3×3-1，a7-a5=3×5-1，a2k+1-a2k-1=3×(2k-1)-1，

各式相加，得……