数学文化视角下的“一元二次方程根与系数的关系”课例研究

牛德军 余庆纯

【摘 要】根与系数的关系是一元二次方程的重要学习内容之一。数学文化视角下“一元二次方程根与系数的关系”课例教学，通过韦达、欧拉、拉克洛瓦对一元二次方程的根与系数关系的证明，华里斯运用韦达定理推导一元二次方程的求根公式等内容渗透数学文化，借助探究“一元二次方程根与系数的关系”活动，让学生重构式地亲历“归纳—猜想—论证”的“做数学”的过程，渗透由特殊到一般、设而不求的数学思想。实践表明，“一元二次方程根与系数的关系”课例教学浸润知识源流、审美娱乐、多元文化三个维度的数学文化内涵，深刻地揭示了数学史的六类教育价值。

【关键词】一元二次方程;根与系数的关系;数学史;数学文化

【作者简介】牛德军，一级教师;余庆纯，华东师范大学数学科学学院在读博士研究生，主要从事数学史与数学教育研究。

【基金项目】上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地研究项目——数学课程与教学中落实立德树人根本任务的研究（A8）

一、引言

数学是现代文化的重要组成部分，它的内容、思想、方法和语言已经广泛渗入人们的日常工作和生活中，影响着人们的思维方式，推动社会文化的进步[1]。狭义的数学文化是指数学思想、精神、方法、观点以及它们的形成和发展;广义的数学文化除上述内涵外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系等[2]。基于数学史的数学文化可分成知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐与多元文化五个内涵维度（如图1）[3-4]。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。义务教育阶段数学课程的设计，要有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考[5]。可见，数学文化融入数学课例教学是很有必要的。

现行人教版、北师大版和沪教版三个版本的九年级数学教科书中，均涉及“一元二次方程根与系数的关系”（见表1）。沪教版教科书从解一元二次方程入手，归纳出一元二次方程根与系数的关系，再用求根公式加以证明[6];人教版教科书从求根公式出发，思考根与系数的联系，然后采用因式分解法和求根公式法证明一元二次方程根与系数的关系[7];北师大版教科书从求根公式出发，思考一元二次方程根与系数的关系，通过解方程总结规律，再用求根公式加以证明[8]。在引入根与系数的关系时，人教版、沪教版都运用了求根公式，北师大版是用解方程来引入。在证明方法上，三个版本的教科书都采用了求根公式法，其中人教版还介绍了运用因式分解证明的方法。

以往的教学设计往往只注重“一元二次方程根与系数的关系”的归纳运用，对定理的证明关注较少，且证明定理多采用求根公式法，很少体现设而不求的数学思想。运用求根公式法证明该定理虽然容易理解，但存在以下不足：（1）不符合数学知识发生、发展的历史序;（2）不利于设而不求数学思想的渗透;（3）不便于学生后续的数学学习，如通过一元二次方程根与系数的关系来研究一元三次方程根与系数的关系。

基于数学文化视角的“一元二次方程根与系数的关系”课例教学研究，笔者拟订以下教学目标。

（1）重构式地亲历“归纳—猜想—论证”的“做数学”的过程，掌握一元二次方程根与系数的关系，渗透由特殊到一般、设而不求的数学思想，理解一元二次方程根与系数的关系定理多种证明方法的数学本质。

（2）通过学习一元二次方程根与系数的关系定理的相关历史，感悟數学家追求真理的理性精神，体验数学美，品味多元数学文化。

二、史料运用

数学文化视角下“一元二次方程根与系数的关系”课例教学，离不开数学史料的巧妙运用。笔者梳理了“一元二次方程根与系数的关系”的相关史料，具体如下。

由此可见，韦达所指的一元二次方程根与系数的关系，是不考虑重根情况的。但他是历史上第一个以定理的形式讨论根与系数关系的数学家。他所用的方法蕴含了设而不求的数学思想，并运用了代入相减的数学方法。

（二）因式分解法

18世纪，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在《代数基础》中证明了一元二次方程根与系数的关系[10]。方法如下。

欧拉也是采用设而不求的思想来证明一元二次方程根与系数的关系，与韦达不同，欧拉采用了因式分解的方法，而且欧拉的证明没有排斥重根的情况。

（三）拉克洛瓦“新证法”

18世纪法国数学家拉克洛瓦（S.F.Lacroix）在其《代数基础》中给出了一种新的证明方法[11]。

拉克洛瓦的证明采用了设而不求的数学思想，不同的是，拉克洛瓦没有假设方程的两根，而是只假设了方程的一个根。

由此可见，历史上很多数学家都不是利用求根公式来证明一元二次方程根与系数的关系的。恰恰相反，19世纪苏格兰数学家华里斯（W.Wallace）运用该定理推导出了一元二次方程的求根公式[12]。

通过溯源数学史，我们发现：（1）一元二次方程根与系数的关系定理的意义，在于未知方程的两根，而求得这两根的和与积。运用设而不求的思想证明该定理，更加符合数学知识的历史序，也有助于进一步研究一元三次方程根与系数的关系。（2）数学史促进数学发展不仅有实际应用，还能满足人类的智力好奇、审美娱乐等。英国哲学家、数学家罗素（W.Russell）说过：“数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。”数学美包括简洁美、对称美、奇异美和统一美等[13]。通过探究定理的不同证明方法，体验设而不求数学思想的简洁美。（3）数学史上，任何概念、公式、定理或问题都不是某一个数学家，也不是某一个国家或地区的专利，不同时代、不同文明、不同地域的数学家都可能做出各自的贡献。一元二次方程根与系数的关系定理的发现、发展也同样体现了多元文化。韦达、欧拉、拉克洛瓦运用不同的方法来研究该定理，正是多元文化的具体体现。

鉴于此，“一元二次方程根与系数的关系”课例教学重构式地融入该定理的演进史。首先，引导学生通过归纳得到一元二次方程根与系数的关系，进而证明这一结论，体验由特殊到一般的数学思想;然后运用求根公式证明韦达定理后，沿着数学家的足迹，运用因式分解法、代入相减法与拉克洛瓦“新证法”进一步探究该定理的证明，渗透设而不求的数学思想，感悟数学家的理性精神，培育动态的数学观。

三、教学过程

（一）创设情境

教师结合“进入教室的前4名学生是男生，借助不完全归纳，得出班级内所有学生都是男生”这一错误结论的生活实例，揭示通过解有限个方程来总结根与系数的关系是不严谨的，任何定理都需要经过严谨的证明。

首先，师生共同探索、归纳出一元二次方程根与系数的关系（见表2）。

师：你能总结出一元二次方程根与系数的关系吗？

师：这个结论能作为一个定理吗？

生1：能。

生2：不能。

师：大家意见不一致。请大家思考这个例子：某班有39名学生，其中女生21名，男生18名，若上课前进入班级的前4名都是男生，因此判断这个班级的学生都是男生。大家同意吗？

生：不同意。只根据前4名学生的性别，就对全班学生的性别下结论，以偏概全了。

师：通过这4个一元二次方程得出的结论能作为一个定理吗？

生：不能。这同样犯了以偏概全的错误，是不严谨的。

师：如果这个结论要作为一个定理，还需要做什么呢？

生：证明，需要比较严谨的演绎证明。只有证明了它是一个真命题，才可以作为一个定理。

（二）追本溯源

学生在教师的引导下依次经历了用求根公式法、因式分解法、代入相减法和拉克洛瓦“新证法”证明该定理，感受了知识源流、审美娱乐以及多元文化，体验数学文化的魅力。大部分学生首先采用求根公式法证明了一元二次方程根与系数的关系，以下是学生证明一元二次方程根与系数的教学片段。

师：大家运用求根公式，证明了一元二次方程根与系数的关系。这个定理叫一元二次方程根与系数的关系定理，它是韦达首先提出的。不过，韦达的设想是不解方程而得到两根之和与两根之积。那么他会用求根公式法来推导这个定理吗？

生：不会。用求根公式法相当于解方程了。

师：你可以试试吗？

师：设方程的根，但并未求根。这种数学思想是什么呢？

生：设而不求。

师：很好。设而不求是一種重要的数学思想。欧拉也曾证明过一元二次方程根与系数的关系（展示欧拉的因式分解法）。想一想，欧拉的方法与这位同学的方法有何异同？

生：欧拉默认二次项系数为1，但两种方法本质是相同的。

师：韦达是这样推导一元二次方程根与系数的关系的（展示韦达的代入相减法）。你有什么发现？

生：其实就是韦达的代入相减法。

师：很好。你们又一次与数学家心有灵犀了。另一位数学家拉克洛瓦也给出了一种证明方法（展示拉克洛瓦“新证法”）。

生：拉克洛瓦也是运用了设而不求的思想，只设一根，方法非常巧妙。

（三）逆向思考

通过一元二次方程根与系数的关系定理推导求根公式，学生更加深刻地认识数学知识的来龙去脉;教师介绍华里斯的证明方法，让学生体验历史相似性，感受数学文化，激发学习的热情。

师：用设而不求的思想推导一元二次方程根与系数的关系。这符合该定理产生的历史，实际上还可以通过这个定理来推导求根公式，大家试试看。

师：很好。这实际上是19世纪苏格兰数学家华里斯所用的方法（展示华里斯的方法）。

（四）拓展提升

通过探究一元三次方程根与系数的关系，学生加深了对设而不求数学思想的理解，体验数学的简洁美。此外，教师还可以进一步引导学生理解一元二次方程根与系数的关系定理是韦达定理的一部分。

（五）课堂小结

教师引导学生认识到由特例得出的结论无法作为定理这一事实，强化由特殊到一般的数学思想;回顾历史上一元二次方程根与系数的关系定理的证明方法，强化设而不求的数学思想;回顾数学家的故事，学生再次感受数学家追求真理的理性精神;回顾比较学生证明方法与历史上数学家证明方法的异同，揭示历史相似性原理，激发学生学习的兴趣。因此，课堂小结以及布置课后作业，促进了学生知识结构的系统性生成，强化了学生对数学思想的认识，加深对数学文化的领悟感知。

四、学生反馈

课后，教师对全班学生展开问卷调查，共收到38份有效问卷。问卷统计结果显示，数学文化视角下“一元二次方程根与系数的关系”课例教学加深了学生对知识的理解。课前测试结果显示，约有49%的学生了解“一元二次方程根与系数的关系”，课后的测试结果显示，100%的学生掌握了该内容。在课前测试中，约有40%的学生可以证明一元二次方程根与系数的关系定理，课后100%的学生可以证明此定理。在课前约有24%的学生可以运用该定理，在课后这一比例上升至约74%。这说明数学文化运用于数学课堂，加深了学生对知识的理解。

数学文化运用于课堂实践，促进了证明方法的掌握。课例实施之后，学生不仅了解更多的证明方法，而且对不同的证明方法表现出不同的喜好程度（如图2）。这说明，学生不仅掌握了多种证明方法，还对各种方法进行了深入的比较，领会了不同证明方法背后的数学思想。

此外，通过“数学写作”的形式，收集学生学习反馈，促进知识理解，增强数学表达能力。例如在两位学生的习作中都阐述了韦达定理的历史渊源，这表明学生对该定理的知识源流有更深刻的理解。学生A探究了高次方程根与系数的关系;学生B谈到了历史上数学家对韦达定理认识的局限性，表明其逻辑推理素养得到了提升。同时，两篇习作均谈到了数学家的故事，他们纷纷被数学家追求真理的精神感动，也惊讶于自己的想法与历史上数学家相似，实证“历史相似性”的存在，这正是数学史融入数学教学“德育之效”的生动体现。

五、教学反思

本课沿着一元二次方程根与系数的关系定理的历史发生顺序，让学生了解定理发生和发展的脉络，从而对该定理的起源与发展有了更深刻的了解。数学文化“知识源流”维度让学习自然而然，水到渠成。通过设而不求的数学思想，推导一元二次方程根与系数的关系定理，体现数学的简洁美;多种数学方法的使用，引导学生体会数学的奇异美;不同数学家使用不同的方法，得到了同样的结果，引导学生发现数学的统一美。数学文化“审美娱乐”维度有助于发现数学美与数学趣味，激发学生数学学习的兴趣，增强数学学习的信念。数学文化的“多元文化”维度，带领学生体验数学背后的思考。

本课例体现了数学史融入数学教学的六类教育价值。沿着一元二次方程根与系数的关系定理的历史发展脉络，学生自主探究一元二次方程根与系数的关系，符合认知发展规律，使新知识易于理解，体现“知识之谐”;在定理探究过程中，渗透设而不求的数学思想，展现了数学家灵活、多样、精彩的方法，揭示“方法之美”;学生自主探究学习，激发学习的热情，体现了“探究之乐”;通过定理探究，发展了学生的直观想象能力、逻辑推理能力以及数学运算能力，展现了“能力之助”;数学文化的引入，“知识源流”“审美娱乐”和“多元文化”维度的渗透，共同彰显了“文化之魅”;理性精神的培育、学习兴趣的激发、学习信念的树立、学习品质的锤炼，落实了“德育之效”。

参考文献：

[1]上海市教育委员会.上海市中小学课程标准（试行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004.

[2]顧沛.南开大学的数学文化课程十年来的探索与实践：兼谈科学教育与人文教育的融合[J].中国高教研究，2011（9）：92-93.

[3]汪晓勤.基于数学史的数学文化内涵课例分析[J].上海课程教学研究，2019（2）：37-43.

[4]余庆纯，汪晓勤.基于数学史的数学文化内涵实证研究[J].数学教育学报，2020（3）：68-74.

[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[6]上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会.九年义务教育课本（试用本）九年级数学拓展Ⅱ[M].上海：上海教育出版社，2019.

[7]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书数学九年级下册[M].北京：人民教育出版社，2014.

[8]北师大版初中数学教材编写组.义务教育教科书数学九年级上册[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

[9]Viète F.The analytic art[M].New York：Dover Publications，2006.

[10]EULER L.Elements of algebra[M].London：Longman，Hurst，Rees，Orme，&Co.，1822.

[11]LACROIX S F.Elements of algebra[M].Boston：Hilliard，Gray，Little and Wilkins，1831.

[12]汪淳.关于韦达定理的历史注记[J].中学数学月刊，2016（6）：64-66.

[13]张佳淳，汪晓勤.HPM视角下的“轨迹”概念同课异构课例研究[J].中小学课堂教学研究，2020（5）：9-14，49.

（责任编辑：陆顺演）