最大平均度量下的Bowen维数熵与测度下局部熵

孟如月， 张瑞丰

(合肥工业大学 数学学院，合肥230601)

1 引 言

熵是反映动力系统复杂度的一个非常重要的量，关于各种熵的计算也很重要但比较困难.非紧集合下的拓扑熵是仿照Hausdorff维数定义的，故称之为Bowen维数熵[1].Hausdorff维数的Billingsley性质有助于Hausdorff维数的计算[2]，类似的，Bowen维数熵的Billingsley性质也有助于Bowen维数熵的计算.马际华[3]等证明了Bowen维数熵的Billingsley性质，马际华的证明里，涉及的Bowen维数熵与测度下局部熵都是在Bowen最大度量下进行定义的，周发[4]在d群作用下推广了这一结果.

近几年，对于平均度量下动力系统的研究吸引了很多研究者的关注.Gröger[5]等运用分离集给出了平均度量下拓扑动力系统的拓扑熵的定义，并证明了平均度量下的拓扑熵与Bowen最大度量下的拓扑熵是等价的.黄文[6]等给出了平均度量下遍历测度的Katok熵公式，黄萍[7]等定义了平均度量下的拓扑压，并给出了平均度量下测度压版本的Katok熵公式.黄文[8]等研究了动力系统在三种度量(Bowen最大度量、最大平均度量、平均度量)下的有界复杂性.这些说明在研究拓扑动力系统复杂性的一些问题的时候，平均度量下的Bowen球可以代替经典Bowen最大度量下的Bowen球.

受以上内容启发，这篇文章探讨证明了最大平均度量下的Bowen维数熵与测度下局部熵的关系.

2 定 义

定义1(X,d)为一个紧致度量空间，f为其上的连续映射，对于∀x，y∈X，n∈，0≤i≤n-1，Bowen最大度量：

dn(x，y)=max{d(fix，fiy)}，

平均度量：

最大平均度量：

定义

由定义可得如果X是紧致度量空间，则

将通常定义中的最大度量下的Bowen球替换为最大平均度……