计算平面代数曲线亏格上界的符号-数值算法

吴晓丽

(高等教育出版社有限公司，北京100029)

1 引 言

代数曲线是代数几何中最基本的研究对象, 具有丰富的数学结构. 代数曲线理论交融了代数、分析、拓扑和几何. 特别地，椭圆曲线的理论与算法已经在数论、密码学、数学物理等学科中有重要应用. 亏格是代数曲线的重要不变量，也是代数几何与拓扑中最基本的概念之一. 当复数域上一条不可约射影代数曲线看成一个连通的、可定向的紧黎曼面时, 亏格可以定义为在该曲面上不将曲面分开最多可画出的简单闭曲线的数目. 当在实数域上看成可定向的二维紧光滑曲面时，亏格就是曲面上“洞”的个数. 代数曲线的亏格可以通过曲线上线性无关的正则微分形式的个数来定义. 当域的特征非零时，亏格也可以通过纯算术的方式定义. 但这些定义对于复数域上的不可约代数曲线来说都是等价的，这也体现了代数曲线作为重要数学对象所蕴含的统一美.

代数曲线的亏格计算是计算机代数领域中的经典问题. 在代数闭域中计算代数曲线的符号算法请参看文献[1]. 文献[2] 给出了代数集的一维不可约分支的几何亏格的数值算法. 在文献[3] 中, 作者给出了一种计算代数曲线亏格的符号-数值算法，首先利用细分方法数值地计算平面代数曲线的奇点, 然后将奇点平移至原点, 接着计算代数链、Alexander多项式、δ不变量, 最后得到亏格，其中的计算每一步都是困难的.数值方法无论在工业应用还……