恒成立问题的另类解法

景来峰 杨长智

摘 要：新课标下的恒成立是高中数学的常见问题，它主要考察函数与导数，方程与不等式，函数性质与图象的综合应用。同时渗透换元，转化与化归，函数与方程的思想方法，尤其导数中体现更为明显，是历年高考的热点问题。客观题中的恒成立问题，通过分离参数或转化为求函数的最值基本能够解决，但主观题的恒成立问题，经常是以压轴题的形式出现，同学们做起来，经常感到思路不畅，解答不完整，通法难以套用等。下面我就导数大题的恒成立问题，并结合高考题谈一下思路和方法。

关键词：导数;恒成立;放缩;分类讨论;两个小不等式等

一、观察端点函数值，转化为讨论函数的单调性

例1：设函数若对恒成立，求m的取值范围。

分析：观察端点函数值f （x）=0，原题即为x>1恒有f （x）>f （1），所以只需讨论m，说明f （x）在单增即可，但是不能按f （x）是单增函数求m范围，因为f （x）在（1，+∞）单增是 f （x）>0（1，+∞）恒成立的充分不必要条件。

解：

令g （x）=x2+x-m，g （x）在（1，+∞）单增且g （1）=2-m

（1）当即时

在（1，+∞）是增函数

所以  f （x）在（1，+∞）为增函数

对，有，适合题意

（2）当即时

令得

当时，即

在上是减函数

当时，不适合题意

所以m取值范围是

方法总结：若题目为：时恒成立，求f （x）中参数的取值范围。先观察端点函数值，若，即转化为讨论参数，说明f （x）在单增（单减）即可，上题中在的单调性是明确的，如果不明确，需要二次求导。有的题目需要变形后才能转化成上面的类型。

例2：（14年全国高考） 已知函数

（1）讨论f （x）的单调性

（2）设，当求b的最大值。

（1）略

（2）

分析：观察即 所以只需讨论b，说明即可。……