感悟数学思想　遵循学习规律

吴波

数学思想是数学教学的精髓，它让学生在掌握知识与技能的过程中不断去“悟”，在知识的形成过程中不断去体会。随着数学核心素养的提出，学生学习数学，除了要掌握基本的数学知识和技能之外，最重要的是感悟、体会数学中所蕴含的基本数学思想。数学思想是可以支撑学生持续学习的动力。课堂中，我们要通过引导学生感悟数学基本思想，让教学更符合学习规律。可以通过以下三个方面达成这一目标。

一、反复理解，螺旋上升

在新课程背景下，课程核心内容的设计、各知识点之间都存在着联系。一些重要的数学思想和数学概念都体现了逐级递进、螺旋上升的原则。课堂教学中贯穿着两条主线：一条为由基本概念、基本公式等组成的数学知识的明线，另一条为隐藏在数学各个知识中的数学思想的暗线。

北师版《义务教育教科书·数学》五年级上册第四单元“多边形的面积”和第六单元“组合图形的面积”这两部分内容，教材螺旋上升式的编排不仅体现在知识点上，更体现在一些重要的数学思想上。作为教材四大组成部分之一的空间与图形这一版块，在全部的12册教材中，册册有内容。我发现，关于这部分知识虽然安排得频繁，但每册的教学内容都很清楚，课与课之间都是相互联系的。因此，在教给学生知识的同时，还应该渗透给学生一种连续的数学思想。如多边形的面积是组合图形面积的基础，多边形面积的探索方法——割补法，也是组合图形解决问题最重要的方法。从这个角度上看，多边形面积的教学，应该是这两个教学单元的核心。“多边形的面积”这一教学单元的知识前延为平行四边形、三角形和梯形的特征，长方形面积、正方形面积的计算。学习多边形的面积，学生要掌握多边形面积的计算方法，并利用所学知识解决生活中的实际问题。本单元所对应的后续知识为探索其他平面图形的面积。第六单元“组合图形的面积”除了利用转化思想，用割补法解决问题外，还要用估测、数方格等方法解决不规则图形的面积问题。已有的经验对学生来说是非常重要的，教学时要恰当地选取生活中的相关实例，激发已有的感性认知，通过观察实验，呈现出知识本身的形成过程，结合已有生活经验和已掌握的旧知来展开课堂教学，促进学生对所学知识真正理解和掌握。

课堂上，学生在探索图形面积的活动时，要经历和体验“猜想—验证—建模—感受”的思维全过程。在教学“平行四边形面积”一课时，教学重点应为猜想面积与什么有关。需要学生通过剪、拼进行验证：平行四边形的面积等于长乘宽。教学中，学生通过数格子的方法知道了平行四边形的面积是多少，再借助平行四边形的底跟高的数据大胆地猜测出面积可能与它们有关。这样的猜想是否正确呢？可以沿平行四边形的任意一条高剪开，把平行四边形分割成两部分，再拼成一个长方形。平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形的宽。得到结论：平行四边形的面积等于底乘高。

这样的课堂教学不再把学生当作被动接受知识的“容器”，学习知识应付考试也不再是追求的唯一目标。课堂中的重点在丰富学生的直接经验上，学生结伴交流，可以发表自已的见解，可以动手折一折、画一画，这样的参与既用到了脑，又用到了手、口、眼、耳，调动了所有感官的参与。

二、数形结合，抓住本源

数形结合是重要的数学思想，算法和算理都是抽象的知识，而小学生则是以形象思维为主，要想让他们深刻理解数学知识背后蕴含的道理，就要把抽象的知识形象化，这就要运用数形结合的思想。形象思维和抽象思维是相辅相成的关系。形象思维是抽象思维的基础，抽象思维是形象思维的提升。把它们真正做到有机联系在一起的，就是数形结合的思想。此外，数形结合也证明了代数和几何其实是一个有机的整体。其实，“数”与“形”本身就是一个有机的整体，比如杨辉三角，就是数与形的完美结合。到了函数部分，这种结合体现得更加明显。所以中学阶段，又把代数和几何整合成一门学科，让它们有机融合。与之相反，有的学生遇到难题宁可算不出来，也不愿意画画图，这就是没建立起数与形的联系。所以小学阶段，也要在教学中体现出这种思想，而不要让学生觉得数是数，形是形，彼此一点关系也没有。分数作为“三数”之一，它的地位是很重要的。相对于整数和小数，分数是非常抽象的，在平时的教学中我们常用形象的图形来帮助学生理解分数的意义及分数的计算。

北师版《义务教育教科书·数学》五年级下册第三单元“分数乘法（三）”，这单元的主要内容是理解分数乘分数的意义，探索分数乘分数的计算方法。这是整个分数乘法中的重点和难点。分数乘法是数的运算，属于抽象知识，而五年级的学生以形象思维为主。把抽象知识形象直观地显示出来，让学生接受是一大难点。教学设计中我很好地运用了数形结合的思想，在课堂上采用了大量的直觀图形来阐释算法背后的算理。

师：把这张神奇的纸条对折，取一半，剩下的部分占整张纸条的多少？

课堂中所教的算法和算理，都是抽象的知识，要让学生深刻理解数学背后的道理，就要把抽象的知识形象化，这就要运用数形结合的方法。本节课如果只是抽象地讲“分子乘分子，分母乘分母”的话，学生只能会单纯地运用这种方法去做题，而不明白为什么要分母相乘，分子相乘，弄不好还会与分数加减法混淆。用数形结合的方法，则能让他们直观地感受到，分母相乘就是求平均分成多少份，分子相乘就是取了多少份。明白算理后，每次计算，他们的头脑中都会呈现直观图形，这才是真正的理解，而且不会产生混淆。从这个意义上说，数形结合就是在抽象知识和形象思维之间搭起的一座桥梁。建立数形结合的思想，对学生数学核心素养的形成和发展是极为重要的。

三、知识迁移，拓展思维

教育的目的之一应该是让学生习得一种思维方式，无论将来从事什么工作，都可能会用到从学校学到的思维去解决和处理生活中的问题。在平时的教学中，学习新知识时要引导学生将已有的学习经验进行有效地迁移，通过拆分、转化，变成以前学过的知识去解决。而转化的思想也是数学教学中最常用到的数学思想。

北师版《义务教育教科书·数学》五年级下册第四单元“长方体的体积”这一课中，就可以如下进行知识迁移，拓展思维。

师：今天我给大家请来了一位学习小助手，棱长是1dm，体积呢？

生：1dm³。

师：这个1立方分米就是我们之前认识的体积单位，它有什么用呢？

生：可以知道组合图形的体积。

师：通过数一数有多少个体积单位就知道了图形的体积，我们来试一试，这个长方形也是由1立方分米搭成的，它的体积是多少？

生：60立方分米。

师：为什么？

生：每行有5个立方体，有4行，那么这一层就有20个，一共有3层，一共就有60个1立方分米，所以它的体积是60立方分米。

生：我们是用5×4×3知道了这个长方体一共还有60个1立方分米的小立方体，所以它的体积就是60立方分米。

师：想一想算式中的5、4、3分别表示什么？

生：5表示一行有5个，4表示有这样的4行，3表示有这样的3层，我们用每行5个乘4行乘3层就知道了含有多少个体积单位，也就是体积。

师：这个长方体的体积是多少？说起你的理由。

生：它的体积是400立方分米，因为它的长是10分米，宽是8分米，高是5分米，也就说明它一行可以摆10个，可以有8行，有这样的5层。

师：算式中的10、8、5分别表示什么？

生：10表示长，也表示一行有10个。8表示宽，也表示有这样的8行，5表示高，也表示有这样的5层。

师：我们发现知道长方体的长、宽、高就意味着知道了每行摆几个，摆几行，摆几层，就可以知道一共有多少个体积单位，也就知道了长方体的体积。

师：看这条线段有多长？

生：8分米。

师：为什么？

生：因为它里面还有8个1分米的长度单位。

以知識为本的课堂，重视的是教育的结果，有时候会缺少教育智慧。数学思想的形成，要在知识生成的过程中来完成，学生只有在探究知识的过程中才能体会到数学思想。如转化的思想多用于借助旧知解决新知的过程中，能够帮助学生通过有效地迁移完成对新知的探索，得出结论。学生只有经历发现问题—提出问题—分析问题—解决问题的全过程，才能深刻感悟到数学思想的价值。数学中所有的概念、定义、公理、定理都需要经历“猜想—实验—观察—分析—归纳—总结”的探究过程，如果学生只是掌握了最后一步结论，没有经历结论形成的过程，是体会不到数学思想的价值的。

本节课的价值在于引导学生利用已有的知识和经验，对新知进行建构，对发展学生的数学思维起到了重要作用。在教学中，学生经历了长方体的体积等于长乘宽乘高的探究全过程，运用转化的思想解决了和长方体相关的实际问题。教育是为学生服务的，一切教学方法都应该从学生这个根本出发，因地制宜地去传授更好的方法和知识。对于学生思维模式和数学思想的培养，是需要从每一次的课堂教学中去不断升华的，教师要不断渗透、学生要充分感悟数学思想，这样才能让数学教学更符合学习规律。

（责任编辑：杨强）