三维空间向量积与旋度算子的高维推广

林开亮，吴艳霞

(1.西北农林科技大学 理学院，陕西 杨凌 712100；2.山东财经大学 数学与数量经济学院，济南 250014)

1 向量积

众所周知,在三维欧氏空间中,对两个向量v,w,除了数量积(也称内积或点乘)v·w,还有向量积(也称叉乘)v×w。而且,数量积的概念是高维欧氏空间的基础,在欧氏空间中度量长度、角度 (特别地,垂直关系)都依赖于数量积。那么,很自然地,我们可以问下述问题：向量积是否可以从三维空间推广到高维空间呢？对于这个问题,直到 1942 年才由Beno Eckamann(1917—2008)[1]考虑并完全解决。1983年,美国著名代数拓扑学家William S.Massey(1920—2017)从中提炼出以下代数定理:

(i) 〈v×w,v〉=〈v×w,w〉=0,

(ii) ‖v×w‖2=‖v‖2‖w‖2-〈v,w〉2。

正如Massey所指出的,定理1是著名的Hurwitz定理的推论。

定理2[3]当且仅当n∈{1,2,4,8}时，存在x1,…,xn与y1,…,yn的实系数双线性函数z1,…,zn使得

(x12,…,xn2)(y12,…,yn2)=(z12,…,zn2)

对一切实数值变量x1,…,xn与y1,…,yn都成立。

定理2又称为“1,2,4,8 定理”,它也可以用矩阵来表述,即

定理3[3]设B1,…,Bk是n阶实矩阵,且满足下述 Hurwitz 方程

(1)

定理2与定理3的证明可参见文献[3]。考虑到从定理2到定理1的推导有益于我们理解后面的论证 (从定理3推导定理4),这里我们给出定理1的证明。

xy=(a,v)(b,w)=(ab-〈v,w〉,aw+bv+v×w)。

‖xy‖2=‖ab-〈v,w〉,aw+bv+v×w‖2

=(ab-〈v,w〉)2+〈aw+bv+v×w,aw+bv+v×w〉

=(ab-〈v,w〉)2+a2‖w‖2+b2‖v‖2+‖v×w‖2+2ab〈v,w〉+

2a〈w,v×w〉+2b〈v,v×w〉

=a2b2+〈v,w〉2+a2‖w‖2+b2‖v‖2+‖v×w‖2

=a2b2+〈v,w〉2+a2‖w‖2+b2‖v‖2+‖v‖2‖w‖2-〈v,w〉2

=a2b2+a2‖w‖2+b2‖v‖2+‖v‖2‖w‖2

=(a2+‖v‖2)(b2+‖w‖2)

=‖x‖2+‖y‖2。

由定理2 知n+1∈{2,4,8},从而n∈{1,3,7}。

充分性的证明是构造性的,n=1的情况平凡,n=3的情况即我们熟知的向量积,n=7的情况可用八元数的乘法给出。[2]

定理1告诉我们,与数量积可定义于任意维数空间不同,满足适当条件的向量积仅存在于三维与七维空间。

2 旋度算子

在三维空间中,有与向量积密切相关的旋度算子。然而,在一般的高等微积分教材中,对高维空间并没有关于旋度算子的讨论。这就引出一个问题：是否与向量积的情况类似,关于旋度算子存在一个类似于定理1的结果？……