二元函数偏导数的连续性计算和可视化

王培颖，卓海珊，黄思敏

（广州理工学院 通识教育学院，广东 广州 510540）

在高等数学的学习中，二元函数及其导数的连续性是一个重点，难点，利用数学软件MATLAB的计算和图形功能，可以帮助我们深刻理解二元函数偏导数的连续性的概念[1-3]。

1 问题和解答及其图示

[问题]

[解答]

利用MATLAB可以画出二元函数的两个偏导数f′x(x,y)和f′y(x,y)的曲面[5]。如图1和图2所示。在二元函数f′x(x,y)曲面上，点(0,0)处是一条缝，没有固定函数值，说明f′x(0,0)不存在。在二元函数f′y(x,y)曲面上，f′y(0,0)存在且为0。

图1 二元函数z=(x2+y4)对x的偏导数曲面

图2 二元函数z=(x2+y4)对y的偏导数曲面

2 问题的推广和图示

图3 二元函数z=(x2+y4)1/2对x的偏导数沿y=kx趋于(0,0)时的极限

图4 二元函数z=(x2+y4)1/2对y的偏导数沿y=kx趋于(0,0)时的极限

图5 二元函数z=(x2+y4)1/2对x的偏导数沿x=ky2趋于(0,0)时的极限

图6 二元函数z=(x2+y4)1/2对y的偏导数沿x=ky2趋于(0,0)时的极限

图7 二元函数z=(x2+y4)1/2的曲面

图8 二元函数z=(x2+y4)1/2在Oxz平面上的投影

图9 二元函数z=(x2+y4)1/2在Oyz平面上的投影

3 结论

一个问题的解决可能比较简单，将问题推广，就能提出新的问题，进而解决系列问题。在研究多元函数的偏导数的连续性时，手工演算是必不可少的。应用MATLAB计算和绘图，可以检验手工计算结果的正确性。这种方法也可以应用于判断二元函数在某一点的连续性。

MATLAB功能强大，在高等数学的学习中有着重要应用。建议大学第一学期就开设有关的课程，为学生学习提供强有力的学习工具，提高学生提出问题和解决问题的能力。