关于丢番图方程mp-1=q d

闵春印,李秋颖

(1.沈阳立人学校,辽宁 沈阳 110200;2.朝阳工程技术学校 基础教学部,辽宁 朝阳 122000)

指数丢番图方程a x+b y=c z是一类很重要的方程,许多专家、学者进行了大量的研究[1],本文研究混合的指数丢番图方程,即

我们获得了如下结果:

定理设p,q为素数,p≥3,m,d为正整数,如果丢番图方程(1)有整数解,则除(m,p,q,d)=(3,2,2,3)外,必有q是Mersenne数.

为证明上述定理,先叙述如下两个引理:

引理1设d为正整数,q为素数,则丢番图方程

只有正整数解23=(2+1)2-1.

证:若q=2,由方程(2)有2d=(2+1)2-1=8,所以d=3,有解23=(2+1)2-1.

若q＞2,因为q为素数,由方程(2)有若d≥3,则矛盾.因此d＜3.而即d＞3.矛盾.

引理2设d为正整数,q为素数,则丢番图方程

无正整数解.

证:因为q为素数,所以q≥2.因为1,所以,而=1,矛盾.

引理3[2]设p为奇素数,m-1≠0,则=1或者p.

定理的证明:因为p≥3为素数,所以由方程(1)有

若m=1,由方程(1)知与q为素数矛盾,因此m＞1.由引理3知=1或者p.

(Ⅱ)若(m-1,=1,则q(m-1)或者.否则,假设q|(m-1)且,必有q|(m-1,),即q|1,矛盾.

于是由方程(1)得q d=2p-1,q≠2.

若2|d,则1≡q d=2p-1≡-1(mod8)矛盾.

即q=2p-1为Mersenne数.