有效设计教学活动，让数学探究浸润课堂
——以“勾股定理的逆定理”为例

湖北省武汉市光谷第一初级中学 张 芳

笔者以“勾股定理的逆定理”实际教学为例，就教学活动的探究谈了几点教学思考。

一、在命题引入环节借助数学文化设置悬疑，激发学生探究学习的内动力

命题引入环节主要注重让学生探寻问题产生的来源，精准呈现知识的发生和形成过程。在此环节中，本节课通过展现趣味性的数学文化，让学生产生学习的兴趣。

情境1：几千年前，古埃及人曾用这样的方法作直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，则其中一个角便是直角。

图1

问题：古埃及人的这种作直角方法的奥秘是什么？

班级学生眉头紧锁，愁容满面，说不上来，一时没有思绪。

评析：此情境选自人教版数学课本，它体现了古埃及人的智慧，通过故事的巧妙设疑可以让学生初步感受数学蕴含的奥秘。根据前面所学的勾股定理，已知一个三角形是直角三角形，如果两条直角边是3和4，那么斜边必定是5。可是现在确实已知有三条边分别为3、4、5，那怎么证明它一定是直角三角形呢？猜想直角容易，但究其原理就不知道了。由此，疑问自然产生，学生迫切希望找到答案。这样借助数学文化创设问题情境、设置疑惑，之后再回过头使问题得到解决的导入方式，不仅展现了知识形成的过程，更让学生感受到数学来源于生活，并服务于生活，从而激发学生探究学习的内在动力。

二、在命题探究环节以数学活动为载体，培养学生知识建构的能力

命题的探究旨在让学生经历问题解决的全过程，包含观察、猜想和证明等教学活动。探究勾股定理的逆定理的整个过程，是培养学生的构造思想和创新思维的好时机。本节课中定理的证明是最大的难点，这给教师和学生预留了很大的发挥空间，而通过学生的实践活动，可以充分挖掘学生的探究思维，培养学生知识建构的能力。

（一）命题的猜想

画一画，量一量：（1）画一个三角形，使得三边长度分别为3cm、4cm、5cm，最大角是多少度？（2）画一个三角形，使得三边长度分别为2.5cm、6cm、6.5cm，最大角是多少度？

教师利用几何画板规范学生尺规作图。问题：观察三角形的边和角，你能得到什么结论？学生提出猜想：如果△ABC的三边长a、b、c，满足a2+b2=c2，那么它是直角三角形。教师顺势指出此命题与前面所学的勾股定理的命题互为逆命题。

（二）命题的证明

环节1：教师要求学生独立画出图形，并写出已知求证。

已知：如图2，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，满足a2+b2=c2，求证：△ABC是直角三角形。

图2

环节2：分组讨论。一开始大部分学生没有思路，教师可以尝试点拨学生，要证明△ABC是直角三角形，即要证明∠C=90°，从a2+b2=c2这个条件出发，学生自然能联想到勾股定理，而勾股定理的前提是要有直角。教师再顺势引导，如果没有直角，怎么办呢？学生经过组内讨论，很快就提出先构造出一个直角三角形。但是在画出一个直角后，马上有学生质疑：“既要画一个角是90°，又要同时画三边长是a、b、c，二者是无法同时作出的。”由激发了没有意识到这一问题的学生进行自主思考。经过讨论得出原因：若先作一个90°的角，那就只能再作出三角形的两条边，此时第三条边已经唯一确定。证明思路由此产生，更多学生的思维随之唤醒，很快就有许多学生想到了可以先根据勾股定理确定第三条边，再利用SSS全等来进行证明，教师顺势总结勾股定理的逆定理内容。

评析：命题的探究过程有两个环节，一是学生借助特例画图进行探究，通过“看得见、摸得着”的操作直观地感知结论；二是严谨的逻辑证明，这也是本节课最大的难点，教师需要对学生进行恰当地引导，并且能给学生预留足够的自我探究空间，培养学生将旧知识和新知识进行建构的能力。因此，教师有效的活动设计非常关键。

三、在命题应用环节通过情境呼应及例题变式，培养学生的发散思维

命题的应用环节主要是通过设置情境呼应，让一开始抛给学生的疑问在经历探究之后得到解决，让学生切身体会从问题产生到问题解决的全过程。同时，通过设置典型、有针对性的例题和有层次、有坡度的变式训练题，并结合学生的实际情况进行优化，让学生的思维在应用中得到变通和发散。

情境呼应：同学们现在明白古人画直角的奥秘了吗？学生再次感叹数学文化的博大精深，真正理解了古埃及人画直角的原理是应用勾股定理的逆定理。

（一）典例精析，深化重点

例：判断由线段a、b、c组成的三角形是否为直角三角形，（1）a=5，b=12，c=13；（2）a=12，b=15，c=14。

师生共同分析（1），教师板书规范做题过程。学生独立完成（2），有不少学生计算的是122+152≠142，从而得出（2）中的三角形不是一个直角三角形。教师引导之后，马上有学生举手指正：应该验证三角形较短的两条边的平方和是否等于最长边的平方来进行判断。教师指出像5、12、13这样能够成为直角三角形的三条边长度的三个正整数，称为勾股数。

变式：若a∶b∶c=7∶24∶25（a、b、c均为正数），判断由线段a、b、c组成的三角形是否为直角三角形。大部分学生看到比例式，很快想到设a=7k，b=24k，c=25k（k＞0），经过计算得出是直角三角形的结论。

思考：如果将直角三角形的三边的长度都扩大或缩小同样的倍数，还是直角三角形吗？

学生由上述变式得出结论：只要线段长度的比值满足较小的两个数的平方和等于第三个数的平方，则由这三条线段组成的三角形就是直角三角形。

（二）思维拓展，能力提升

图3

变式：如图4，四边形ABCD中，∠ACB=90°，BC=9，AB=15，AD=5，CD=13。求四边形ABCD的面积。

图4

评析：作为一节新授课，情境呼应环节加深了学生对勾股定理的逆定理的理解。例题及变式有层次、有坡度，前面的例题和变式是基础知识的直接运用，后面的拓展及变式是勾股定理及勾股定理的逆定理的综合应用，主要训练学生新旧知识运用整合的能力。变式在拓展的基础上进一步求面积，方法有多种，但都必须先求证△ACD是直角三角形，考查的依旧是勾股定理及勾股定理的综合运用。但因时间有限，要求教师在设置和选取题目的时候不仅要体现所学知识的基础应用，更要考虑学生思维的最近发展区。

四、在总结反思环节适当留白，数学探究无止境

在总结反思环节，教师引导学生自主归纳本节课所学习的知识及数学思想方法，并提出问题：类似地，锐角三角形是否也可以利用边来判断呢？钝角三角形呢？

评析：适当地留白，抛一个新问题给学生，有利于学生思维拓展。虽然课后思考的问题需要用到高中的余弦定理知识，并不属于初中数学的范畴，但学生通过思考和探究，可以充分挖掘思维潜力。当然，本节课还存在一些不足，部分环节的实施并不十分顺畅，如在要求学生画指定边长三角形的时候，部分学生直接拿尺子画，忘记了尺规作图的方法。所以在课前，教师应带领学生进行必要的复习。另外，在探究勾股定理的逆定理的证明环节，应该还有更好地突破难点的方法，有待进一步学习思考。

总之，一堂数学探究课，教学设计应围绕探究活动来进行，不论是教师的引导探究，还是学生的自主探究，整个过程应使学生的思维品质得到适当培养。同时，探究学习是一个艰辛而漫长的过程，只有坚持不懈地反复浸润，学生的自主探究能力才能在无形之中得以提升，从而使课堂教学显现一定的成果。