一类加权的椭圆方程多重正解的存在性

林美琳

(应用数学福建省高校重点实验室(莆田学院),福建莆田 351100)

§1 引言

考虑下面的方程多重正解的存在性问题

很多学者讨论过此类问题.在a=b=µ=θ=0时,Bahri-Coron[1]和Passaseo[2]得到了多重解的情况.在a=b=µ=0,θ=1时,Tarantello[3]证明了在h很小时,方程有两个正解.有兴趣的读者还可以看[4-6].近些年,Chen[7],Chen-Chen[8]证明了在a=b=0时,方程有多重正解.Chen[9]和Lin[10]证明了在h=u时,多重正解和变号解的存在性.

受Chen[7]的启发,可以得到下面的结果.

定理1在前面的假设条件下,若0<µ <(1+a)2,则存在θ∗>0,当0<θ <θ∗时,方程(1)在中至少存在m个正解.

定理1的证明采用的是临界点理论,定义下面的泛函

众所周知,EV的临界点和方程(1)的弱解是一一对应的,由椭圆正则性估计知

关于正解,有下面一条性质.

性质1对方程(1)的正解u1,u2,···,um,由[11,Theorem1.1],存在正的常数A1,A2,有

对任意x ∈B(gj,r){gj},r充分小都成立.

§2 预备知识

考虑极小问题

注意到S0是Sobolev嵌入的最佳常数,且当0<µ<时,S0>Sµ.从文献[12]知,S(a,b,µ)的一组达到函数为

§3 一些引理

引理1假设ω是方程(1)的一个解,那么对任意的θ >0,存在χ>0,使得EV(ω)≥−χθ2.

证由于ω满足方程(1),则

通过求导,得到极小点(t>0)

引理2在前面的假设条件下,存在θ1 >0,当θ ∈(0,θ1),u ∈M时,有

且对任意的θ ∈(0,θ1)有

此引理的证明见[7,Proposition2.2].

对于j ∈{1,···,m},选择r0=δ/3.定义

引理3 由(V 0)中的δ和上面选择的r0,如果βj(u)≤r0,那么

此引理的证明见[10,引理3].

推论1由引理3知,如果u ∈{0},βj(u)≤r0且βi(u)≤r0,那么i=j.

引理4由前面的假设条件下,以及引理1中的χ,存在θ2>0,当θ ∈(0,θ2)时,有

其中u0=φjU1,gj,0≤u0∈. 于是得到ε1>0,当0<ε<ε1时,有βj(tε,juε,j)

接下来证明,存在θ2>0,当θ ∈(0,θ2),0<ε<ε1时,有事实上

若选择θ2充分小,当θ ∈(0,θ2)时,有ε<ε1,于是结论得证.

引理5存在θ3>0,对任意的0<θ <θ3,有

此引理的证明见[7,Lemma3.1].

此引理的证明见[12,Lemma3.2].

§4 定理1的证明

引理7对于θ ∈(0,θ1),取u ∈Nj,则有ρu >0且存在一个微分泛函g:B(0,ρu)⊂满足g(0)=1,g(ω)(u −ω)∈Nj,∀ω ∈B(0,ρu).对于有

由于u ∈Nj,则G(1,0)=0,且

由u ∈Nj的选择,有.

接下来把G在点(1,0)上应用隐函数定理就可以得到结论……