二次函数复习课例的一次尝试

陈峰

在复习课教学中，教师大多采用“师讲—生听—课后留作业”的传统模式，教师讲得累，学生听得累.本人所教的中职学生被笑称为“数学癌症晚期患者”.在这种模式教学下，更是不得了，为数不多的学生也是靠意志在坚持.

但在一次《二次函数》复习课中却因一次预习，在课堂中居然起了“翻天覆地”的变化，让我“大跌眼镜”，学生的热情之高、反应之烈、欲望之强、效果之好，让我对这节课依然回味无穷.

具体流程如下：

第一步，预习

学生先预习二次函数的概念、解析式、图像和性质，然后编一道有关二次函数习题，并解之.

第二步，收作业，并整理

我对预习作业浏览了一番，但足让我激动不已.首先整洁度已经超过了以前的任何一次作业;其次大多数学生写满了8k试卷纸，足见他们的认真程度.

第三步，做课件

将学生所列习题进行题组式归类，在课堂上以他们所举习题作为例题.

第四步，上课

题组一：求解析式

1.若 ， 的图像经过（-2，0），且（-1，0）、（3，0）是函数与x轴的两个交点.求 .

2.若二次函数 的对称轴为 ，最小值为-2，求函数解析式.

3.若二次函数 与 轴有两个交点为（0，0）、（-4，0），且它有最大值为2，求 的解析式.

4.若二次函数 的图像经过（2，0）、（4，0），求 .

5.已知有个二次函数，有两个交点在 轴上，并且与 轴有一个交点（0，2），对称轴为 ，有最大值，一个交点是（-1，0），求此函数.

6.已知 是二次函数，若 ，且 ，求 的表达式.

看到这些题组，马上有一学生说：第1题是错误的，因为二次函数不可能与x轴有3个交点.（好象有点不服气，怀疑怎么选上的.）

明知有错误，还把该题亮出来，一下子提起了学生的兴奋点.我顺势把学生分成四组，分别解决第2至5题.

几分钟后，第一组学生甲：第2题有问题，只有两个条件不能解决三个变量问题.

第二组学生乙：第3题可设交点式，得 .

第三组学生丙：第4题有问题，同样只有两个条件不能解决三个变量问题.

第四组学生丁：第5题可设一般式，得 .但语言表达不顺畅，如“有两个交点在x轴上”，后面又出现“一个交点式（-1，0）”，干脆改成“与x轴的一个交点为（-1，0）”.

四位学生差不多是争先恐后，主动代表自己的组回答.不仅会求解，也会发现问题、提出质疑.

题组二：求单调性

7.判断 的单调性.

8.函数 的单调增区间是   .

9.已知函数 ，求 的单调区间.

10.画出 的图像，根据图像说明函数 的单调区间.

11.已知函数 在 上是减函数，求 的取值范围.

分别叫命题者回答了答案，特别强调了对称轴和第11题.肯定了在低起点下第8题的顺序变化和第10题的作图要求.

题组三：图像性质

12.若抛物线 经过点（0，1）和（2，-3）两点，且开口向下，对称轴在 轴左侧，求 的取值范围.

继续由命题者给出解题思路，然后求之.由于本题学生给了错误的答案，通过修正，再次温故了多变量方程、不等式组合的求解.强调将表述的内容转化为数学式子，才能找到突破口.

题组四：最值（值域）

13.求函数 在 上的值域.

14.求二次函数 在区间 上的最值.

15.已知抛物线 经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，若点 在抛物线上，且 ，试写出 的取值范围.

16.设函数 上的最小值为 ，求 的表达式.

还是由命题者回答第13、14、15题，并且要求说明配方的必要性.

二次函数在闭区间上的最值有三种类型：轴定区间定（14、15题）、轴定区间动（16题）、轴动区间定. 解决的关键是对称轴和区间的位置关系，通过对图像的变化适当分类讨论.

题组五：恒成立

17.函数 的取值恒大于零，求 的取值范围.

由于该题无需讨论，只要用判别式就能解决.

对此我又补充了一题：不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4<0对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围.补充该例目的是重视二次项系数.

题组六：二次方程根与系数关系

18.已知关于 的方程 的两个实数根 满足 ，求实数 的取值范围.

19.已知二次函数 在区间 内至少存在一个实数 ，使 成立，求实数P的取值范围.

20.设 ，若 ， ，求证：⑴ 且 ;⑵方程 在（0，1）内有两个实根.

这类题有一定难度，但班级中也不乏几位成绩较好的学生，这三位学生的习题不仅语言表述准确，而且有深度、广度.

第五步，反思与感悟

1.看似题目较多，共计20题，但没必要全部详细讲解.我把重点放在第6、11、12、16、18和补充的例题.

2.对学生的命题要给予充分肯定，虽然他们都是从不同参考书中模仿而来.但毕竟经过了他们的思考.

3.通过讲评及时指正学生规范语言的叙述和合理的书写.如第5题的表述要整合，可以去掉“有最大值”这个条件;第2、4题的条件要完备;第1题的“方程”要指明“方程 ” .又如表述称“函数 ”、“实数 ”等等.

4.有时候故意设置错误，并能让学生发现，也有神奇的效果.

5.这是一次让学生主动学习的尝试，通过尝试，许多学生在行动上得到了大家的认可，在心理上的到了满足.可谓心理诱导、暗示成效明显.

6.这也是变革课堂的一次尝试，改变一下传统教学模式，让课堂教学赋予新的生机，引起师生的共鸣.

7.低起点是应对低基础学生的教学方式之一，因此无论学生命题有多简单，也予以充分肯定.但在低起点下不能放弃高标准，否则就丢掉了课堂的生命力.本次课在由浅入深、顺序渐进方面显然很有效果.

8.在学习方法上要培养学生逐步养成“预习争取达到掌握程度，上課积极参与”的习惯.

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