基于学习心理的高中数学错题教学研究

[摘  要] 错题是优质的教学资源，以其为生长契机，融入学习心理，合理追溯根源，在容错、识错、纠错中彰显育人、育才的内在价值和外在品质，为落实立德树人根本任务作出努力.

[关键词] 教学做合一;学习心理;数学错题

现代教育坚持以学生为主体，围绕着学生的生活经验，开展教与学的教学工作. 教师教育的目的是让学生自主学习，学生学习的目的是让自己会做、会创造. 在高中数学教学实践中，以错题为有效抓手，运用逆向思维，积极从学生心理层面，重建与分析其思维、心理、情感、态度等精神结构，在追溯根源、科学矫正、改进模型、丰富经验等实施过程中，转变教学思路，增进教学理解，提升教学效能，推动教学绩效朝向更高、更优的目标迈进[1]. 下面结合一道错题来阐述基于学习心理的数学错题教学.

[?]研究案例

典例 已知a，b是不全为零的实数，求证：方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）内至少有一实根.

1. 创设问题情境，彰显主体地位

当今高中课堂教学就应试层面而言，教学手段与教学效率有限，各类学生的错题屡见不鲜. 目前，即便教师普遍重视习题教学，但对错题资源尚缺乏有效管理手段与方法. 学生对错题的处置方法普遍局限于错题整理等范畴，教师亦缺乏对错题的归因分析、分类整理、合理利用，同时对学生心理分析、矫正策略等也严重不足.

新课改倡导的教学是让学生走出传统教材中“死知识”的“牢笼”，引导学生积极主动地参与到教学情境中来，激发其学习、探究的欲望. 拿到题让学生思考片刻，并分组讨论探究，会呈现以下两种思路：

令f（x）=3ax2+2bx-（a+b），

思路1：用函数零点存在性定理解决，即看f（0）·f（1）的情况.

思路2：用根的分布的知识，讨论在（0，1）上有一实根和两实根这两种情况.

但最后的结果是两种思路都以失败告终.

学生存在困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维方式或结果与具体问题的解决存在着差异，也就是说，学生的数学思维存在着障碍. 这种思维障碍，有的来自教学中的疏漏，而更多的则来自学生自身，来自学生中存在的非科学的知识结构和思维模式[2].

2. 鼓励自主探究，在“做”中获得矫正

高中数学教学中利用错题资源，予以有效溯源、分析、引领学生成长. 交给学生自己去探究、去发现，可以使他们印象更深，效果自然也会更好. 只有通过“做”才能不断地使个体体验到无穷的乐趣并产生“做”的需要，不断地获得新的动力，不断地得到新的发展.

对于思路1，学生存在困难的原因在于计算出f（0）·f（1）=-（a+b）（2a+b）后，其正负符号不能确定，即使要讨论也没有明确的分类标准. 这时教师可以引导学生换一个角度进行思考：既然要证方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）内至少有一实根，这与函数的零点有关，不妨利用二分法来试一试. 这时学生会自然想到计算f

，发现f（0）·f

= -（a+b）·

-a

=a（a+b），f

·f（1）=

-a

·（2a+b），但问题还是不明朗，这时继续引导学生观察

-a

（2a+b）与a（a+b）的联系，争取找到分类的突破口. 事实上，通过拆项可以发现

-a

·（2a+b）= -a2-a（a+b）. 接下来，只要讨论a（a+b）的正负，便可以确定f（0）·f

与f

·f（1）的正负符号. 具体解法如下：

若a=0，则b≠0，此时方程的根为x=，满足题意.

若a≠0，令f（x）=3ax2+2bx-（a+b），

①若a（a+b）<0，则f（0）·f

=-（a+b）

-a

=a（a+b）<0，所以f（x）在区间

0，

上有一实根;

②若a（a+b）≥0，则f

·f（1）=

-a

（2a+b）=-a2-a（a+b）<0.所以f（x）在区间

，1

上有一实根.

综上所述，方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）内至少有一实根.

反思上述解法，当学生按照某个固定的程序去解决问题但又无法解决时，就必须引导学生换一种方法或思路去尝试、去思考，以达到提高学生思维能力的目的.

对于思路2，学生在操作的过程中发现要对a=0，a>0，a<0以及方程在（0，1）内有一根、两根进行讨论，除了分类烦琐外，具体的每一种情况的结论都不明显. 这时教师可以引导学生从“正难则反”去思考，用反证法证明如下：

思路3：假设方程在（0，1）内无实根.

若a=0，则b≠0，此时方程的根为x=，与假设矛盾.

若a≠0，因为Δ=4b2+12a（a+b）=12a2+12ab+4b2=12

a+

+b2>0恒成立，所以方程必有两根，不妨设为x和x，且x

①若x<0，x≤0，则x+x<0?-<0?>0，且x·x≥0?-≥0?+≤0，显然两者矛盾.

②若x≥1，x>1，则（x-1）+（x-1）>0?（x+x）-2>0?<-1，且（x-1）（x-1）≥0?x·x-（x+x）+1≥0?≥-，显然两者也矛盾.

③若x<0，x>1，设f（x）=3ax2+2bx-（a+b），若a>0，则f（0）≤0?-（a+b）≤0，且f（1）≤0?2a+b≤0，两者相加得a≤0，与a>0显然矛盾.

若a<0，同理矛盾.

综上所述，假设不成立，原命题得证.

以上思路说明，当正面讨论情况较多且不易取得好的效果时，可以从反面来思考——用反证法，反面情况虽然也要分类，但学生易于讨论，结果明显，因为用到二次函数图像时规律明显，用到韦达定理时简单易懂.

3. 进行心理分析，促进能力发展

学生在数学学习及解题过程中， 一般会经历“不懂—好奇—探究—应用”的过程，数学知识应用时不仅常会出现错误，而且还会有情绪上的波动，教师也常常通过知识层面对学生的错题进行正向矫错[3]. 因此在错题教学过程中，教师要基于学生的学习心理，充分发挥错题的资源价值，以错题为生长契机，引导学生在识错、纠错中提高数学学习能力，让主体在体验成功的情绪中学习.

学生在初中虽然学过一元二次方程和一元二次函数，但高一的一元二次不等式和二次函数的有关问题，对于学生来说仍是易错题型. 对于一个新知识所涉及的题型，学生会经历下列心理认知过程，教师可以及时矫正：

不懂：对于一个新的题型，学生刚开始的感觉就是不懂. 如上述题目，学生感觉不懂的原因是参数较多，特别是二次项系数是参数，给题目增加了难度和易错因素. 题目中的“至少”又多了一层讨论，学生易产生畏难情绪. 基于学生的心理，这时教师应该鼓励他们尝试并适时点拨.

好奇：学生经过教师的鼓励，出于好奇的心理敢于尝试. 利用自己储存的知识解题，回忆相应的知识点和解决类似题型的方法. 上述题目的思路1利用的是高一新知识——零点存在性定理和二分法求解，发现不易操作;思路2有初中基础，易于上手，但讨论过于烦琐，学生尝试后会发现计算量较大且易错. 这时教师可以适当提醒和指导解题得分点.

探究：学生尝试了多种解法后，教师根据学生有可能出现的多种解法进行分析和讲解，纠正各种错误，给出多种解法的详细过程并分析优劣，总结和提炼出相应题型的优解. 上述题目中，教师给出最优的解法——思路3的解法，经过分析后，让学生自行完善解题过程，并请代表上讲台演示加深学生的印象. 多种解法呈现后，继续让学生分析和总结各种解法的优点.

应用：学生发现自己的错误和错因后，领会到自己思路的正确解法和其他思路的解法后，会积极地继续尝试类似的题型. 这时教师可以呈现变式题让学生解答，起到举一反三的效果.

其实，教师还要对错题的形成进行归因分类分析，更多的是，要从学生心理方面进行分析，建构系统的错误类别及错误矫正策略. 这样教师针对错题进行认知与矫正，思考错题教学效果提升的有效手段与方法，使学生体验学习成功的喜悦.

注重错题教学，并在错题研究、心理研究的双层合力下，转变教学观念、合理改造课堂、完善评价手段，促使学生明确学习目标、带着问题学习，以错题为生长契机，融入错题教学的学习心理认知与行为矫正研究，改善学生的学习方法和教师的教学方法.

[?]研究价值

习题教学的目标一般有：顺利理解，解答问题;领悟问题的关卡点，解决问题瓶颈;比较问题的不同解法;内化问题的背景知识，优化思维方法，提升敏感能力. 从学习心理规律的角度研究错题教学，其目的在于树立以科学的学习心理规律指导教学的实践模型，为错题教学寻找有效的突破口，实现其应有的功能和价值.

1. 实践模型具有突破性、示范性

基于学习心理的错题研究，旨在运用心理学规律，对教学中重复率最高、最受师生忽视的教学行为（习题教学）和内容（错题资源）进行研究. 研究具有原创性、突破性与示范性.

2. 学生成长具有针对性、持续性

基于学习心理的错题研究，旨在利用错题资源，予以有效溯源、分析、引领学生成长. 帮助学生明确学习目标、带着问题学习，以错题为生长契机，融入错题教学的学习心理认知与行为矫正研究，改善学生的学习方式，推动其发展有针对性和持续性.

3. 教师发展具有创新性、引领性

数学教学中，教师除了关注教学效果外，更要关注学生核心素养的培育与养成;要注重错题教学，并在错题研究、心理研究的双层合力下，转变教学观念、合理改造课堂、完善评价手段. 对加快教师角色转型起到带动作用，推动教师发展有创新性和引领性，提高课堂教学质量，提升师生素质，落实立德树人根本任务.

对于数学错题，学生有听不懂、难点不易感悟、不会使用不同方法及其优化等原因. 在平时教学中，教师要设置情境，注重知识与方法相结合，引导学生将文字转化为图形、問题转化为方法、关键信息转化为条件，提升学生对未知问题的解决能力，解题过程就是条件反射的过程[4];要鼓励学生阅读，强化其思路与能力，让学生每节课都有感触，让学生学会知识的迁移. 平时教师多思考能否让学生小题大做，向易题要规范;或者大题小做，向难题要过程. 除此之外，教学应以心理学原理作为科学支撑，积极运用学习心理理论，彰显育人、育才的内在价值和外在品质，实现学生不断发展.

错题是优质的教学资源，其存在的前提是学生对应的学习心理，合理追根溯源、科学矫正、改进模型，可以有效推动教学迈上新台阶，促进学生更好、更快发展. 同时，能为教师打开思路，对教学工作提质增效，加快教师成长、成熟. 学习心理和错题教学的有机结合，不仅有利于学科教学，也能够提升学生的学习心理品质，达到育人与育才的统一.

参考文献：

[1]  吴燕. 例说如何培养学生的思维能力[J]. 高中数学教与学，2011（12）： 24-26.

[2]  刘萍. 课堂教学如何突破学生数学思维瓶颈[J]. 基础教育参考，2013（06）：46-47.

[3]  董育洲. 培养高中学生数学错题反思能力的实践研究[J]. 数学教学通讯，2021（12）：36-38.

[4]  杭丽华. 善待错误，有效生成——基于错误资源的高中数学教学思考与实践[J]. 数学教学通讯，2018（09）：17-19.