基于数学现象培养学生问题意识的探索

【摘 要】数学现象是指把客观事实呈现给学生，让他们用数学的观点进行观察、分析、思考和研究。这个客观事实可以是生活中的事实，也可以是数学中的事实，还可以是为教学而创设的事实。这些事实中隐藏着数学问题。文章通过观察现象、分析现象、改造现象以及从现象到本质等四个方面培养学生的问题意识。

【关键词】数学现象;问题意识;核心素养

一、引言

数学现象是指把客观事实呈现给学生，让他们用数学的观点进行观察、分析和研究，它强调用数学的眼光看世界。但是现象并不能天然地引发思考，古人言，“学起于思，思起于疑”，所以引发思考的是疑问，数学现象是让学生用数学的视角审视客观事实，并在此过程中自发的产生疑问。那么，疑问从哪里来？教师向学生提出问题，这是教学中的常见方式，但这主要基于教师的教学经验和教师的视角。在教学中，学生如果自己能感知到问题的存在，并用自己的语言表述问题、解决问题，那么这样的学习就是主动和高效的，也更有利于学生创新能力的培养。高中数学课程标准也反复强调培养学生的问题意识。因此，基于数学现象带给学生的问题意识的过程，是学生数学学习的体验之旅、发现之旅，也是审美之旅[1]。下面笔者就数学现象培养学生的问题意识进行研究。

二、基于数学现象培养学生问题意识的策略

（一）观察现象，重新表述问题

生活中的场景，只有用数学的眼光看待并进行数学的思考，才能成为数学现象。因此，从实际场景中析取数量、位置等数学要素，是产生数学问题的第一步。生活场景中的问题可能并不明确，学生用数学的语言重新表述，其实是问题数学化的过程，体现归纳、抽象、逻辑转换等数学素养。

在“平面向量的概念”教学中，教材以两地之间的位移、小船行驶的速度、物体的重力以及浸泡在液体中物体所受到的浮力等常见的生活情境引入教学。这些生活情境学生比较熟悉，但教师需指导学生从学科视角来观察现象，进而把它们的共性找出来。从物理学科的视角来看，位移、速度、力是不同的物理量，它们各有特点。学生根据所学的物理知识将位移、速度、力等物理量用有向线段将其可视化，此时学生从数学视角观察，发现它们的共性是既有大小，又有方向。接着，教师继续引导学生观察和思考一支笔、一棵树、一本书……，学生可以抽象出只有大小的数量“1”，并且把这种只有大小没有方向的量称为数量。对比以上的不同，学生便产生疑问：数学中该如何表述这种既有大小又有方向的量？此时向量的概念就自然而然地在学生头脑中生成。在教学中，教师应避免直接给学生灌输概念，而是让学生观察现象，把现象用数学语言重新表述，使学生在归纳抽象的过程中体悟数学概念的形成。

从现象切入，引发学生思考，这是数学现象应用最本质的特点，而贴近生活、切入点低可让学生更自然地進入教学，从而逐步展开思维[2]。在教学中，教师应注意对现象进行数学化引导，启发学生提炼共性、寻找差异，并从中归纳特点、总结规律。在此过程中，学生必然会对数学现象进行观察、思考和讨论，这为学生发现并提出问题提供了可能。教师应注意概念的构成要素，引导学生用有效的数学语言表述相关的数学现象，让数学现象数学化。

（二）分析现象，在结构中发现问题

数学讲究思维和逻辑，不同数学现象之间内在的关联是符合逻辑的，因为只有符合逻辑才有助于思维的展开。数学结构体现现象的数学构成，在分析现象时，要注重对数学结构特质、构成、关联等要素的把握。只有对比不同数学现象间数学结构的异同，才能对问题解决采取有效的处理方式。下面以一道数学填空题为例进行说明。

例1 已知数列[an]满足[an=2n2n+128]，则该数列的前13项之和为      。

大部分学生对于该题的解题思路是不清晰的，因为这个数列不符合一般数列求和的通法，即在这个问题中，条件与结论的数学现象之间没有逻辑关联。此时，学生尝试通过计算和观察前几项的特殊值来研究规律，但学生即使计算前三项的值[165]、[133]、[117]，也无法从特殊中归纳一般。通过转换思维，发现分式求和的方法在于通分，即把分母的值变为一致，但学生发现对该数列前13项全部通分比较困难。于是进一步分析，128=27与2n同属于以2为底的指数结构，而128=27的指数7是数列求和项数13的中位数，学生发现问题中的对称结构。从对称性和分母一致性的角度来看，对该数列前6项的分子、分母同除以2n，则[an=11+27-n]，而对该数列的第8项到第13项的分子、分母同除以27，则[an=2n-72n-7+1]。于是该数列前13项的首尾项：[a1=11+26]与[a13=2626+1]，[a2=11+25]与[a12=2525+1]，……，每一对两项分母值均相同，并且相加和为1。由此，学生将前13项首尾配成6对再加a7，计算可得该数列的前13项之和为[132]。在该题中，分式求和需要通分，而对所求项的分母全部通分，势必陷入繁杂的计算中，而使问题无法得到解决。学生通过分析现象的数学结构，找到其中对称关系，并由此发现其成对数据的分母一致，巧妙绕过分母通分的难题，为问题的解决提供方向。

事实上，问题的解决并非一蹴而就的，数学现象的辨析同样具有多样性、层次性和开放性。因此，在问题解决的过程中，分析数学结构是发现不同数学现象逻辑关联的关键，它有助于问题的再提出，为不同数学现象之间的内在关系找到连结点，而这些连结点正是学生问题意识的出发点。

（三）改造现象，在整体中发现问题

对数学现象的整体思考，要求学生注重从整体来改造数学现象。问题的合理性或思维的无矛盾性都是基于整体而言的。教师在教学中应用整体思维，让学生在思维中尽量保持联系、全面、辩证的观点，使思维形成整体认知。因此，改造现象，在整体中发现问题是抓住现象的主要矛盾，这能更好地解决问题。

例2 不等式[logax][-]ln2[x<4]（a[>0]且a[≠1]）对任意x[∈]（1，100）恒成立，则实数a的取值范围为       。

由于该题中两个对数[logax]和ln2[x]的底数不一致，因此，很多学生认为此题中的不等式是超越不等式。学生如果把[logax]变形为[ln xlna]，这不仅让式子从数学对数结构上得以统一，而且使不等式[ln xlna][-]ln2[x<4]变成以ln[x]为变量的二次不等式。这体现了学生在辨析数学现象中具有整体考虑的问题意识。接下来，我们注意到x[∈]（1，100），从而ln[x][∈]（0，ln100），即变量ln[x]为正数，将不等式进行参变分离得[1lna][<][4lnx]+ln x。值得注意的是，这里分离出的是[1lna]，原因如下：一是这样的结构最简单明晰，并且不等式的右边是基本不等式的结构;二是在运算过程中，把[1lna]看作是一个整体，通过求出其整体的取值范围[1lna][<]4，从而求出a[∈]（0，1）[?]（e[14，+∞]）。该题需要学生在具体运算中具有整体规划意识，即先求[1lna]的范围，再求实数a的范围。

上述解题过程既有对数学现象的整体分析，也有对解题过程的整体前瞻性的预见，后者给学生的解题带来更多便捷，这也是学生对数学现象具有整体把控能力的体现。把[logax]变形为[ln xlna]，既是学生对于数学结构一致性的认识，也是学生整体解答问题意识的体现。在参变分离时，学生并没有分离出a，而是分离出[1lna]，这是部分学习基础较好的学生基于对解题过程的整体预见。如果有学生将不等式[1lna][<][4lnx]+ln[x]变形为a[>]e[ln xln2x+4]，将参变分离进行到底，教师可以引导学生反思，这个变形中是否有错误，这个变形后的式子是否容易计算出最值。这些反思可以进一步激发学生的问题意识，让学生对数学现象的整体性把握有更深刻的理解。

整体思考是数学现象辨析问题的一种重要的方式，它要求认识一个事物应该首先具有整体性、直观性，虽然这个直观性可能只是大概的、统括性的，但其价值很大。整体思考可以让我们把研究对象从周边的环境中剥离出来并整合成一个独立的个体，通过改造现象，为新知识的学习提供前提条件。格式塔学派的核心观点是“整体大于部分之和”。这“大于”的部分是认识问题的关键。因此，从局部发现的问题，它往往具有片面性，学生只有从整体出发分析现象，才能更好地从全局把握问题，从而更好的培养问题的意识。

（四）从现象到本质，在新情境中識别老问题

不同数学现象之间的相互迁移，主要在于辨析数学现象之间可变因素和不变因素的辩证关系。明晰可变因素的变化对问题解决的影响，强化对可变因素的分析和讨论，能给学生发现问题明晰方向，促进学生问题意识的养成。如此学生才能从新情境中识别老问题，只有植根于情景脉络中的知识，才是活“知识”[3]。

在“正切函数的图象与性质”教学中，教师可让学生回顾正弦曲线生成的过程，从直观迁移两个关联的数学现象，让学生产生构造正切曲线的思路，即通过等分圆产生正切线来获得正切曲线，这是两者相同之处。在进一步辨析两者关系后，学生发现它们之间有很多不同之处，即在正切线的表示过程中，角的终边不能落在y轴上，故正切函数定义域与正弦函数不同。根据直观感受正切线的变化，并结合诱导公式tan（[π+α]）=tan[α]，学生分析得出正切函数的周期是[π]，故正切函数可先考虑在一个周期[-π2，π2]的范围作图，这与正弦函数作图的周期是不一致的。因为正切函数是奇函数，所以可考虑在[0，π2]范围内通过等分单位圆截取正切线，充分体现了数学的对称与简洁美。由于正切函数的定义域是[xx≠kπ+π2，k∈Ζ]，因此正切函数的图象不似正弦曲线是连续的，而是存在无数条平行的渐近线。

在上述教学片段中，数学现象之间的相互迁移可以启发学生的思维，类比会带给学生解决问题的基本思路。但数学现象之间也是不同的，如何处理数学现象之间的变化，就会让学生产生问题意识。因此学生关注变化，是让学生产生问题的最佳切入点。老问题是思维的基础，思维是解决新情境的桥梁。由老问题进行联想和对比，是寻求正确思维方向的有效途径。因此，关注数学现象之间的变与不变，思考数学现象之间的变与不变，是启发学生问题意识的关键点。

三、结语

数学现象是现象学在数学学科教学中的一项有益尝试，这对于改善课堂教学效果，提升学生的思维方式，促进学生数学学科核心素养发展有一定的帮助。解决别人给予的问题，是在完成一项任务;解决自己提出的问题，是在满足好奇心;从现实世界中感知和提出问题，则是创造力的历练。所以，通过辨析现象培养问题意识，是促进思维走向深刻的一个好的途径。佐藤学主张“与世界对话，与他人对话，与自己对话”，从现象到问题的教学正是有效落实了这一教学主张。在立德树人与核心素养教育中，这一路径也是比较有效的教学方式。

参考文献：

[1]孙四周.把数学问题还原为数学现象：谈“基于活动和体验的例题教学”[J].数学通报，2015（10）：41-45.

[2]任晓松.从现象教学谈概念的生成：以极坐标系为例[J].中学数学（高中版），2020（8）：9-13.

[3]张阳.具身认知：让数学现象教学从模糊走向清晰[J].江苏教育研究，2020（28）：3-6.

（责任编辑：陆顺演）